4 Loi $t$ de Student-Fischer

4.1 Variable de Student-Fischer

1. Par définition, la loi de Student-Fischer à $\nu$ d.o.f. est la loi d'une variable $t$ définie par $t=\frac{s}{u}$ lorsque $u$ est une variable normale réduite (loi de Gauss) et que $s^{2}$ est la moyenne des carrés de $\nu$ variables de Gauss indépendantes (autrement dit $\nu \times s^{2}$ suit la loi du $\chi ^{2}$ à $\nu$ d.o.f.).
2. Les densités de probabilités de $u$ et de $\nu \times s^{2}$ sont respectivement $f$ et $g$ données par
   

   $$f\left( x\right) = \frac{\exp \left( -x/2\right) }{\sqrt{2 \pi x}}$$ (12)

   $$g\left( y\right) = \frac{y^{\left( \nu /2-1\right) } \exp \left( -y/2\right) }{2^{\left( \nu /2\right) } \Gamma \left( \nu /2\right) }$$

   
   
   avec $\Gamma \left( 1/2\right) =\sqrt{\pi }$, $\Gamma \left( 3/2\right) =\left( 1/2\right) \Gamma \left( 1/2\right)$, $\Gamma \left( 3/2\right) =\left( 3/2\right) \Gamma \left( 3/2\right)$, etc.
3. Si l'on pose $\xi =\ln x$, la densité de $\xi$ vaut $x f\left( x\right) =\exp \xi f\left( \exp \xi \right)$. Si l'on pose $\eta =\ln \left( y/\nu \right)$, la densité de $\eta$ est $\nu y g\left( y\right) =\nu \exp \eta g\left( \exp \eta \nu \right)$.
4. La densité de probabilité de $\zeta \doteq \eta -\xi$ s'obtient par convolution. Elle vaut donc :
   $$\int \nu \exp \eta g\left( \exp \eta \nu \right) \times ... ...a \right) f\left( \exp \left( \zeta -\eta \right) \right) \mathrm{d}\eta$$
   Revenant en $y, z$ par une transformation exponentielle, on obtient :
   $$Pr\left( \mathbf{z}\in \left[ z, z+\mathrm{d}z\right] \right) =... ...ty }f\left( z y\right) \mathrm{g}\left( \nu y\right) y \mathrm{dy}$$

5. En reportant les formules (13), on obtient :
   $$Pr\left( \mathbf{z}\in \left[ z, z+\mathrm{d}z\right] \right) =... ... }{\sqrt{\pi \nu } \Gamma \left( \frac{\nu }{2}\right) }\frac{1}{\sqrt{z}}$$

6. La variable intéressante étant $t=s/u$ et non $z=s^{2}/u^{2}=t^{2}$, un dernier changement de variable conduit enfin à

   $$densit '\! \! \! e\: de\: Student-Fischer=\left( 1+\frac{t^{2}}... ...{\nu +1}{2}\right) }{\sqrt{\pi \nu } \Gamma \left( \frac{\nu }{2}\right) }$$ (13)

   
   

Figure: Loi de Student (pour $\nu =1, 3, 5\protect$). En gras, la loi normale ( $\nu =\infty$).

4.2 Utilisation

1. Rappel : échantillonage de la moyenne. La moyenne $m=moy\_e$ d'un échantillon est une nouvelle variable aléatoire, d'espérance $\mathrm{E}\left( moy\_e \right) =\mathrm{E}\left( X \right)$. Elle peut donc servir à estimer la moyenne de la population. Le fait que $\mathrm{var}\left( moy\_e \right) =\frac{1}{n}\mathrm{var}\left( X \right)$ montre que la précision augmente avec $n$. En résumé :
   $$\displaystyle \mathrm{E}\left( moy\_e \right) =\mathrm{E}\left( X... ...quad \mathrm{var}\left( moy\_e \right) =\frac{1}{n}\mathrm{var}\left( X \right)$$

2. Rappel : échantillonage de la variance. La quantité $s^{2}=var\_e \doteq \frac{n}{n-1}\sigma _{n}^{2}$ est une nouvelle variable aléatoire (dans cette formule, $\sigma _{n}^{2}$ désigne la variance de l'échantillon). L'utilisation de $s^{2}$ comme estimateur de $\sigma ^{2}=\mathrm{var}\left( X \right)$ est fondée sur les formules :
   $$\displaystyle \mathrm{E}\left( var\_e \right) =\mathrm{var}\left(... ...athrm{M}^{4}-\frac{\left( n-3\right) }{\left( n-1\right) } \sigma ^{4}\right)$$
   où $\mathrm{M}^{4}=\mathrm{E}\left( \left( X-\overline{X}\right) ^{4} \right)$ est le moment d'ordre $4$.
3. Rappel : TCL. On pose $\mu \doteq \mathrm{E}\left( X \right)$ et $\sigma ^{2}=\mathrm{var}\left( X \right)$. Pour $n$ assez grand, la variable $k=\left( m-\mu \right) /\sqrt{\mathrm{var}\left( m \right) }$ se comporte comme une variable normale réduite. On peut donc écrire

   $$m=\mu +k\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ (14)

   
   
   la variable $k$ étant normale réduite. Le facteur de couverture est donné par la "règle des sigmas" : un sigma pour deux tiers, deux sigmas pour $95\%$ et trois sigmas pour $99.7\%$.
4. Remarque : cette formule nécessite la connaissance exacte de $\sigma$, exigence qui n'est pas réaliste pour la plupart des problèmes industriels.
5. Théorème (Fischer). Pour $n$ assez grand, le rapport $s/\sigma$ se comporte comme une variable de Student Fischer à $n-1$ degrés de liberté. On a donc :

   $$m=\mu +t\frac{s}{\sqrt{n}}$$ (15)

   
   
   et le facteur de couverture est désormais donné par english
   $$\begin{array}{cccc} \nu & 67\% & 95\% & 99\%\\ 1 & 1.75 & ... ...0 & 1.02 & 2.23 & 3.17\\ 100 & .979 & 1.98 & 2.63 \end{array}$$

6. Conclusion : utiliser $s$ à la place de $\sigma$ élargit l'intervalle de couverture. Pour une sécurité à $67\%$, trois prélèvements suffisent (facteur $1.28)$. Pour une sécurité à $99\%$, six prélèvements conduisent à un facteur $4$ (au lieu de $2.6$).