A. Quelques rappels de mathématiques générales

A..1 Quelques rappels sur les formes quadratiques

1. Définition. Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux par rapport aux variables.
2. Algorithme de complétion des carrés. Exemple. On part de
   $$q=3x^{2}+5y^{2}-17x y+4x z+z^{2}$$
   On regroupe les termes contenant $x$ pour former un carré. Il vient :
   

   $$q = 3\left( x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right) ^{2}-3\left( -\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right) ^{2}+5y^{2}+z^{2}$$

   $$= 3\left( x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right) ^{2}-\frac{229}{12}y^{2}+\frac{34}{3}y z-\frac{1}{3}z^{2}$$

   
   
   On recommence avec la variable suivante et on obtient finalement
   $$q=3\left( x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right) ^{2}-\frac{229}{12}\left( y-\frac{68}{229}z\right) ^{2}+\frac{309}{229}z^{2}$$

3. Théorème de décomposition (rappel) :
   1. Une forme quadratique se décompose en une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
   2. Le nombre de termes est indépendant de la décomposition (rang de la forme quadratique).
   3. Pour une forme à coefficients réels, la signature (nombre de coefficients strictement positifs et nombre de coefficients strictement négatifs) est indépendante de la décomposition.
4. Propriété caractéristique de la moyenne. Par complétion des carrés, la somme $3k^{2}=\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-a\right) ^{2}+\left( z-a\right) ^{2}$ se réécrit en :
   $$3\left( a-\frac{x+y+z}{3}\right) ^{2}+\frac{2}{3}\left( x-\frac{y+z}{2}\right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( y-\frac{z}{1}\right) ^{2}$$
   montrant que la moyenne est le nombre qui conduit à la plus petite valeur possible de $k^{2}$. Celle ci (la variance) est la somme de deux carrés seulement, un carré "ayant disparu" à cause de la relation de liaison.

A..2 Un petit rappel sur l'exponentielle

1. Définition : PA. On appelle progression arithmétique une suite $a_{k}$ définie par $a_{k}=a_{0}+q k$. La constante $q$ s'appelle la raison de la progression.
2. Caractérisation PA. Une progression arithmétique est caractérisée par le fait que chaque terme est la moyenne arithmétique des deux termes qui l'encadrent, c'est à dire
   $$\forall n : a_{n}=\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)$$

3. Définition : PG. On appelle progression géométrique une suite $a_{k}$ définie par $a_{k}=a_{0}\times q^{k}$. La constante $q$ s'appelle la raison de la progression.
4. Caractérisation PA. Une progression arithmétique est caractérisée par le fait que chaque terme est la moyenne arithmétique des deux termes qui l'encadrent, c'est à dire
   $$\forall n : a_{n}=\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)$$

5. Les progressions "géométriques" apparaissent dans de nombreux problèmes de géométrie, d'où leur nom. Quelques exemples :
   1. La hauteur d'un triangle rectangle est moyenne géométrique des deux projections des cotés de l'angle droit sur l'hypothénuse.
   2. Chaque coté d'un triangle rectangle est moyenne géométrique entre sa projection sur l'hypothénuse et l'hypothénuse toute entière.
   3. Les paramètres $d, a, f$ d'une ellipse sont en progression géométrique (la raison est l'excentricité de l'ellipse)
6. L'objectif initial des logarithmes était de permettre la traduction des multiplications en additions. Première méthode : faire correspondre la progression des puissances de 10 et la progression des entiers relatifs. Puis raffiner les progressions en intercalant des termes supplémentaires
   $$\begin{array}{cccccccccc} nombre & \cdots & 0.1 & 0.31 & 1 &... ...cdots & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & \cdots \end{array}$$

7. Deuxième méthode : utiliser le fait que $\int _{1}^{a\times b}\frac{1}{x} \mathrm{d}x=\int _{1}^{a}\frac{1}{x} \mathrm{d}x+\int _{1}^{b}\frac{1}{x} \mathrm{d}x$ (logarithmes népériens).
8. Ces méthodes ne sont pas généralisables aux nombres complexes. On utilise alors la fonction réciproque
   $$\exp z=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{z^{n}}{n !}$$
   qui s'applique sans problème à une large catégorie d'objets (y compris les matrices).