B. Quelques rappels de stats-probas

B..1 Espérances et probabilités

1. L'objectif ultime de ces deux années de statistiques et probabilités est de fournir des outils d'aide à la décision. Il s'agit donc de transformer l'ensemble de nos connaissances sur une situation donnée (archives statistiques, théorèmes généraux, informations diverses, etc.) en un choix binaire : ``on y va'' ou bien ``on n'y va pas''. Le tout premier critère utilisé est celui de l'espérance de résultat.
2. L'espérance d'une quantité est la moyenne pondérée des résultats possibles :

   $$\mathrm{E}\left( X \right) =\sum x_{i} p_{i}=\int x \mathrm{d}p\left( x\right) =\int x f\left( x\right) \mathrm{d}x$$ (16)

   
   
   Les différentes écritures correspondent à différentes façons de poser les calculs, mais expriment les mêmes propriétés (en particulier de linéarité).
   exo 13.  On considère le jeu suivant : un dé est lancé et le joueur gagne $x$ $ si le $x$ sort. Quelle est la mise équitable, c'est à dire celle qui, sur le long terme, n'avantage ni le joueur ni le banquier ?
   exo 14.  On considère le jeu suivant (l'entier $n$ est fixé une fois pour toutes) : on lance $n$ fois une pièce et le joueur gagne $2^{n}$ si pile n'est jamais sorti au cours des $n$ lancers ? Quelle est la mise équitable ?
   exo 15.  Acceptez vous de jouer au jeu $n=100$ ? Quel concept mettre en oeuvre pour rendre compte de la différence entre le jeu (1) et le jeu (3) ?
3. Définition : fonction caractéristique. La fonction caractéristique $c_{F}$ d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ est la fonction définie par $c_{F}\left( x\right) =1$ si $x\in F$ et par $c_{F}\left( x\right) =0$ si $x\in E\setminus F$.
4. La probabilité peut être perçue comme l'espérance de la fonction caractéristique :
   $$Pr\left( F \right) =\mathrm{E}\left( c_{F} \right) =\int _{x\in F}x \mathrm{d}p\left( x\right)$$
   C'est en tout cas la formule que l'on utilise spontanément lorsque l'on a un nombre fini d'événements élémentaires équiprobables : on divise le nombre de cas favorables par le nombre total de cas.
5. Définition : histogramme. Un histogramme est une représentation graphique où l'on porte en abscisse la variable (unidimensionnelle) étudiée et en surface la probabilité associée.
   

   Figure: Histogramme associé à un lancer de dé.

   

6. Définition : densité. L'ordonnée (quotient de la surface par la variation d'abscisse) s'appelle la densité de la probabilité. Ainsi, sur la FIG. 3, le nombre $1/6$ repère une densité de probabilité, tandis que $Pr\left( x\leq 2 \right) =1/3$.
7. Définition : variance. La variance $\mathrm{var}\left( X \right)$ est l'écart carré moyen de la variable $X$ par rapport à sa moyenne $\mathrm{E}\left( X \right)$. On dispose d'une formule de calcul de permettant d'éviter un calcul en deux temps (formule de Koenig):

   $$\mathrm{var}\left( X \right) \doteq \mathrm{E}\left( \left( X-\ma... ...=\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{2}$$ (17)

   
   

B..2 Loi normale

1. Définition : loi de Gauss. La loi de Gauss est définie par la densité :

   $$Gauss = Norm\left( 0, 1\right) \qquad :\qquad f\left( z\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{1}{2}z^{2}\right)$$ (18)

   
   
   tandis que la loi normale ``générale'' est définie par la densité

   $$Norm\left( \mu , \sigma \right) \qquad :\qquad f\left( x\right)... ...2\pi }}\exp \left( -\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}\right)$$ (19)

   
   
   L'histogramme de la loi normale est la ``courbe en cloche'' bien connue de la FIG. 4. Insistons sur le fait que $Pr\left( Z=z_{0} \right)$ est nulle, tandis que $Pr\left( Z\in \left[ a, b\right] \right) =\int _{a}^{b}f\left( t\right) \mathrm{d}t=F\left( b\right) -F\left( a\right)$ : la probabilité correspond à la surface sous la courbe (et non à la hauteur).
   

   Figure 4: La courbe en cloche.

   

2. Résultat. Pour une variable normale, on a $\mathrm{E}\left( x \right) =\mu$ et $\mathrm{var}\left( x \right) =\sigma ^{2}$. La variable de Gauss $z$ est donc la variable réduite associée à la variable normale $x$.
   exo 16.  Que valent $Pr\left( Z<0 \right)$, $Pr\left( 2<Z<3 \right)$, $Pr\left( \left\vert Z\right\vert <1.5 \right)$, $Pr\left( Z<-2\: ou\: 2<Z \right)$ ?
   exo 17.  Utiliser les tables de la fonction de distribution de la variable normale réduite pour déterminer $z$ tel que $Pr\left( Z<z \right) =0.9625$, puis $Pr\left( -z<Z<z \right) =0.9625$, puis $Pr\left( 0<Z<z \right) =0.35$, et enfin $Pr\left( -2<Z<z \right) =0.50$.
3. Résultat : règle des sigmas. On a les approximations suivantes : $Pr\left( \left\vert Z\right\vert <1 \right) \approx 68\%\approx \frac{2}{3}$, $Pr\left( \left\vert Z\right\vert <2 \right) \approx 95\%$, $Pr\left( \left\vert Z\right\vert <2.5 \right) \approx 99\%$ et $Pr\left( \left\vert Z\right\vert <3 \right) \approx 0.997$.

B..3 Théorème central limite

1. Théorème (additivité) : si les $X_{1}, \cdots , X_{n}$ sont des variables indépendantes, de moyennes et de variances respectives $\mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et $\mathrm{var}\left( X \right) _{j}$, leur somme $Y_{n}$ a pour moyenne $\mu _{n}\doteq \sum \mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et pour variance $\sigma _{n}^{2}\doteq \sum \mathrm{var}\left( X \right) _{j}$.
2. Théorème TCL : Si de plus $\sigma _{n}^{2}\rightarrow \infty$ lorsque $n\rightarrow \infty$ alors la loi de la variable réduite $Z_{n}=\frac{Y_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}$ converge vers la loi de Gauss $Norm\left( 1, 0\right)$.
3. Théorème iid (independent and identiquely distributed) : la loi de la moyenne $Y$ de $n$ variables indépendantes $X_{j}$ de même loi (avec $\mu \doteq \mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et $\sigma ^{2}\doteq \mathrm{var}\left( X \right) _{j}$) est approximativement $Norm\left( \mu , \sigma \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.
4. Remarque : le théorème central limite redonne la convergence vers la loi normale de la variable réduite d'une loi binomiale.
   exo 18.  On lance un dé $n=1000$ fois de suite et on appelle $X$ le total des points obtenus. Quelles sont l'espérance, la variance et la variable réduite associée ?