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Ensait - E2 - Tests d'hypothèses

projet de DS - durée 2 h

1 Calculs élémentaires

Dans une certaine population, la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait une carte de crédit "Visa" (événement A) est $Pr\left( A \right) =0.5$ , tandis que la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait une carte de crédit "MasterCard" (événement B) est $Pr\left( B \right) =0.4$ . On suppose en outre que $Pr\left( A\, et\, B \right) =0.25$ . Déterminer la probabilité pour qu'un individu sélectionné au hasard ait au moins l'une des deux cartes, puis la probabilité pour que cet individu ait une carte Visa, mais pas une MasterCard.
Utiliser les tables de la loi normale pour déterminer $Pr\left( 23<X \right)$ lorsque $X$ est une v.a. $Norm\left( 20\, ;\, 2.5\right)$ . Quel est l'intervalle de confiance à $5\%$ (centré autour de la moyenne) pour cette distribution ?
On mélange une population de $N_{1}=25$ individus, ayant une moyenne $\mu _{1}=13$ et un écart-type $\sigma _{1}=3$ avec une population de $N_{2}=35$ individus, ayant une moyenne $\mu _{2}=11$ et un écart-type $\sigma _{2}=4$ . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
Un pressing traite des vêtements ordinaires et des vêtements fragiles. Sur l'année écoulée, $40\%$ des vêtements traités étaient dans la catégorie "fragile". Parmi ceux-ci, $20\%$ nécessitaient un détachage préalable et tandis que seulement $10\%$ des "ordinaires" ont eu besoin d'un détachage. Si l'on sait qu'un certain article (choisi au hasard) a eu besoin d'un détachage, quel est la probabilité qu'il s'agisse d'un article ordinaire ?

2 Intervalles de confiance

On joue $n$ fois de suite à pile ou face avec une pièce équilibrée. Déterminer $n$ pour que la fréquence expérimentale de réussite ait $95\%$ de chances de se situer dans l'intervalle $\left[ 0.48,\, 0.52\right]$ .
Pour les questions 2.2 et 2.3, $X\in \left\{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\right\}$ désigne le résultat obtenu en lançant un dé équilibré. Que valent $\overline{X}\doteq \mathrm{E}\left( X \right)$ , $\sigma ^{2}\doteq \mathrm{E}\left( \left( X-\overline{X}\right) ^{2} \right)$ et $\mu ^{4}=\mathrm{E}\left( \left( X-\overline{X}\right) ^{4} \right)$ ?
On lance $n=100$ fois de suite un dé équilibré, puis l'on calcule la moyenne $moy_{e}$ et la variance $var_{e}$ des valeurs obtenues. Quel est l'intervalle de confiance à $95\%$ pour ces deux variables aléatoires ?

.../...

3 Test du $\chi ^{2}$

Compléter la table ci-dessous, qui donne les valeurs de $Pr\left( X=k \right)$ lorsque $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda =2.5$ .

$X$ 0 1 2 3 4 5 6 plus

$Pr\left( X \right)$ $.21376$ $.13360$ $.06680$ $.02783$ $.01419$
Examiner, par un test du $\chi ^{2}$ , l'hypothèse selon laquelle les $n=100$ valeurs ci-dessous constituent un échantillon prélevé au sein d'une population régie par une loi de Poisson de paramètre $\lambda =2.5$ .

$\begin{displaymath} \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} 5 & 3 & 2 & 3 & 2 & 2 & ... ...& 4 & 0 & 4 & 3 & 3 & 2 & 3 & 1 & 3 & 4 & 4 & 0 & 4 \end{array}\end{displaymath}$
Examiner l'hypothèse selon laquelle les $n=100$ valeurs précédentes sont distribuées selon une loi de Poisson (la valeur du paramètre n'étant pas fixé).

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douillet@ensait.fr
2002-05-09

$X$	0	1	2	3	4	5	6	plus
$Pr\left( X \right)$				$.21376$	$.13360$	$.06680$	$.02783$	$.01419$