1 Transformation de Laplace

La transformation de Laplace consiste à remplacer une fonction $f\, :\, t\mapsto f\left( t\right)$ par une fonction $p\mapsto {\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$. Les fonctions $f$ sont appelées ``fonctions objets'' et les fonctions ${\cal L}\left( f \right)$ sont appelées ``fonctions images''.

Le but poursuivi est la description d'un régime transitoire. La variable $t$ est le temps, et la date $t=0$ est la date de démarrage du processus, ou en tout cas la date de début de l'observation. Par conséquent , la variable $t$ vérifie à la fois $t\in \mathbb{R}$ et $t\geq 0$. Insistons bien là dessus : il sera toujours supposé que les fonctions ``objets'' sont des fonctions continues par morceaux d'une variable réelle positive. Ainsi la notation ${\cal L}\left( \sin \right)$ ne fait donc pas référence à la fonction sinus usuelle, mais à la fonction $x\mapsto \left\{ \begin{array}{c} if\quad x>0\quad then\, \sin x\\ otherwise\quad 0 \end{array}\right.$, comme décrite par la FIG. 1.

Figure 1: La fonction sinus.

Par contre la fonction ``image'', c'est à dire ${\cal L}\left( f \right)$ doit être considérée comme dépendant d'une variable complexe $p\in \mathbb{C}$. Nous nous autoriserons à écrire ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$ au lieu de $\left( {\cal L}\left( f \right) \right) \left( p\right)$ et même, à écrire ${\cal L}\left( t^{2}+1 \right) \left( p\right)$ au lieu de $\left( {\cal L}\left( t\mapsto t^{2}+1 \right) \right) \left( p\right)$ qui est certes plus correct, mais qui nous semble moins lisible.