1.9 Comparaison avec la méthode de Lagrange

1. Dans cette méthode, on commence par résoudre l'équation linéaire $y''\left( t\right) +4\, y'\left( t\right) +3\, y\left( t\right) =0$ qui conduit aux solutions indépendantes $\alpha \left( t\right) =\exp \left( -3\, t\right)$ et $\beta \left( t\right) =\exp \left( -t\right)$. Chacune des solutions de l'équation linéaire peut donc s'écrire $\mathrm{y}\left( t\right) =\mathrm{a}\, \alpha \left( t\right) +\mathrm{b}\, \beta \left( t\right)$ et vérifie $\mathrm{y}'\left( t\right) =\mathrm{a}\, \alpha '\left( t\right) +\mathrm{b}\, \beta '\left( t\right)$.
2. Variation des constantes. On cherche alors les solutions de l'équation affine sous la forme $\mathrm{y}\left( t\right) =\mathrm{a}\left( t\right) \, \alpha \left( t\right)... ..., \alpha '\left( t\right) +\mathrm{b}\left( t\right) \, \beta '\left( t\right)$. En écrivant que $\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, t ^{ }}y\left( t\right) =y'\left( t\right)$ on obtient une première équation :
   $$Eq_{1}\quad :\, \mathrm{a}'\left( t\right) \, \alpha \left( t\right) +b'\left( t\right) \, \beta \left( t\right) =0$$
   En reportant $y'\left( t\right)$ et $y\left( t\right)$ dans l'équation initiale, on obtient, après s'être débarrassé des facteurs $\alpha ''\left( t\right) +4\, \alpha '\left( t\right) +3\, \alpha \left( t\right)$ et $\beta ''\left( t\right) +4\, \beta '\left( t\right) +3\, \beta \left( t\right)$ qui sont nuls par définition,
   $$Eq_{2}\quad :\, a'\left( t\right) \, \alpha '\left( t\right) +b'\... ...t( \mathrm{t}\right) =\mathrm{H}\left( t \right) -\mathrm{H}\left( t-1 \right)$$

3. On obtient donc un système affine en $a'$ et $b'$ qui se résout en $\mathrm{a}'\left( t\right) =-\frac{1}{2}g\left( t\right) \, \exp \left( 3\, t\right)$ et $b'\left( t\right) =\frac{1}{2}g\left( t\right) \, \exp \left( t\right)$, conduisant à
   $a\left( t\right) =A+\left( -\frac{1}{6}\, \exp \left( 3\, t\right) +\frac{1}{6... ...eft( 3\, t\right) -\frac{1}{6}\, \exp 3\right) \, \mathrm{H}\left( t-1 \right)$ et
   $b\left( t\right) =B+\left( \frac{1}{2}\, \exp t-\frac{1}{2}\right) \, \mathrm{... ...( -\frac{1}{2}\, \exp t+\frac{1}{2}\, e\right) \, \mathrm{H}\left( t-1 \right)$
   exo 27.  Le déterminant du système donnant $a'$ et $b'$ s'appelle le Wronskien du système. Donner son expression. Montrer qu'il ne s'annule jamais.
4. La solution est donc em
   

   $$y\left( t\right) = A\, \exp \left( -3\, t\right) +B\, \exp \left( -t\right) +\left( ... ...ht) +\frac{1}{6}\exp \left( -3\, t\right) \right) \, \mathrm{H}\left( t \right)$$

   $$+\left( -\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\exp \left( 3-3\, t\right) +\frac{1}{2}\exp \left( 1-t\right) \right) \, \mathrm{H}\left( t-1 \right)$$

   
   

5. On remarquera que l'expression précédente n'est pas nulle pour $t<0$. Par contre, après fixation des constantes par les conditions initiales, la fonction $y\left( t\right) \, \mathrm{H}\left( t \right)$ est égale à la fonction trouvée à la section précédente.
   exo 28.  Donner les détails du calcul.