1.10 Convolution

1. Définition. La convolution des fonctions $f$ et $g$ est une nouvelle fonction notée $f\star g$ et définie par $\left( f\star g\right) \left( t\right) =\int _{u=0}^{u=t}f\left( u\right) \, g\left( t-u\right) \, \mathrm{d}u$.
2. Un exemple. Si $\mathrm{Z}$ est la somme de deux variables aléatoires indépendantes $\mathrm{X}$ et $\mathrm{Y}$, ayant $f$ et $g$ pour densités de probabilité, c'est à dire si $Pr\left\{ x\leq \mathrm{X}<x+\: \mathrm{d}x\right\} =f\left( x\right) \: \mathrm{d}x$ et $Pr\left\{ y\leq \mathrm{Y}<y+\mathrm{d}y\right\} =f\left( x\right) \, \mathrm{d}y$, la formule des probabilités totales donne :
   $h\left( z\right) \, \mathrm{d}z=Pr\left\{ z\leq \mathrm{Z}<z+\mathrm{d}z\right... ...eq \mathrm{X}+\mathrm{Y}<z+\mathrm{d}z\mid \mathrm{X}=x\right\} \, \mathrm{d}x$. On a donc $h\left( z\right) =\int _{\mathbb{R}}f\left( x\right) \, g\left( z-x\right) \: \mathrm{d}x$ : la loi de la somme est la convolution des lois (pour des variables indépendantes).
3. Théorème : l'image Laplace d'une convolution est le produit des images Laplace. En effet, $$h\left( t\right) =\int _{0}^{t}f\left( x\right) \, \mathrm{H}\le... ...\right) \, g\left( t-x\right) \, \mathrm{H}\left( t-x \right) \, \: \mathrm{d}x$$ et donc aussi bien $$h\left( t\right) =\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \, \: \mathrm{d}x$$. Si $f$ et $g$ sont d'ordre exponentiel $\alpha$ et $\beta$, alors $f\star g$ est d'ordre exponentiel $\alpha +\beta$ et $${\cal L}\left( h \right) \left( p\right) =\int \int _{\mathbb{R}... ...{H}\left( t-x \right) \: \mathrm{d}x\, \exp \left( -p\, t\right) \, \mathrm{d}t$$. On remarquera que l'intégrale est prise dans le plan tout entier, les facteurs de Heaviside sélectionnant automatiquement le bon domaine d'intégration. Le changement de variable $t=y+x$ a pour matrice $\left( \begin{array}{c} u\\ x \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} 1... ... -1 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} u\\ t \end{array}\right)$. Comme $\det J=1$, cette intégrale double se transforme en
   $\int \int _{\mathbb{R}^{2}}\, \mathrm{f}\left( x\right) \, \mathrm{g}\left( y\... ...ght) \, \exp \left( -p\, \left( x+y\right) \right) \, \mathrm{d}y\: \mathrm{d}x$ qui se factorise. Finalement :

   $${\cal L}\left( f\star g \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( f \right) \left( p\right) \times {\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$ (11)

   
   

4. Une illustration. Prenant $f\left( t\right) =t$ et $g\left( t\right) =t^{2}$, on a
   $h\left( t\right) \doteq \left( f\star g\right) \left( t\right) =\int _{x=0}^{x... ...}t^{2}-2\frac{x^{3}}{3}t+\frac{x^{4}}{4}\right\vert _{0}^{t}=\frac{1}{12}t^{4}$. Passant aux images Laplace, on a ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) \times {\cal L}\left( g \right) \left... ...\times \frac{2}{p^{3}}={\cal L}\left( \frac{t^{4}}{12} \right) \left( p\right)$.
5. Une autre. Prenant $f=\sin$ et $g=\cos$, on a $h\left( t\right) =\int _{x=0}^{x=t}\sin \left( x\right) \cos \left( t-x\right) \: \mathrm{d}x=$ $\frac{1}{2}\int \frac{1}{2i}\left( \exp \left( i\, x\right) -\exp \left( i\, x... ...eft( i\, t-i\, x\right) +\exp \left( -i\, t+i\, x\right) \right) \: \mathrm{d}x$. Ce qui conduit à $h\left( t\right) =\frac{1}{2}\int \left( \sin t+\sin \left( 2x-t\right) \right... ...\frac{1}{4}\cos \left( 2x-t\right) \right\vert _{x=0}^{x=t}=\frac{1}{2}t\sin t$. La formule (9) de dérivation de l'image donne ${\cal L}\left( t\sin t \right) \left( p\right) =-\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm... ...}}{\mathrm{d}\, p ^{ }}\frac{1}{p^{2}+1}=\frac{2p}{\left( p^{2}+1\right) ^{2}}$, et la formule (11) se vérifie.
6. Une utilisation. L'image Laplace de l'équation différentielle de la section 1.8 conduisait à $\mathrm{Lap}\left( f\right) \left( p\right) =\frac{\mathrm{Lap}\left( g\right) \left( p\right) }{p^{2}+4\, p+3}+\frac{1}{p^{2}+4\, p+3}$. On a déjà obtenu $\frac{1}{p^{2}+4\, p+3}={\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right)$ avec $\varphi \left( t\right) \doteq \frac{1}{2}\exp \left( -t\right) -\frac{1}{2}\exp \left( -3\, t\right)$. D'après ce qui précède, on a $y=\varphi +\varphi \star g$, ce qui redonne le résultat déjà obtenu.
   exo 29.  Donner les détails du calcul.