1.11 Fonctions périodiques

1. Définition : périodicité. Lorsqu'il existe $T>0$ tel que $\forall t>0\, :\, f\left( t+T\right) =f\left( t\right)$, on dit que $f$ est une fonction périodique. Dit rapidement, la période est alors la plus petite valeur possible pour $T$. Il faut être attentif au fait que $f\left( t-T\right) =f\left( t\right)$ n'est vrai que pour $t>T$.
2. Définition : ``première période''. Il s'agit de la fonction $\varphi$ qui coïncide avec $f$ sur l'intervalle $\left] 0,\, T\right[$ et qui est nulle en dehors. On a donc $\varphi \left( t\right) =f\left( t\right) \times \left( \mathrm{H}\left( t \right) -\mathrm{H}\left( t-T \right) \right)$.
3. En appliquant la formule des retards, on a ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( f \right) \left( p\right) \times \left( 1-\exp \left( -p\, T\right) \right)$.
4. Exemple pour $f=\cos$, on a $\varphi \left( t\right) =\cos t\, \left( \mathrm{H}\left( t\right) -\mathrm{H}\left( t-2\, \pi \right) \right)$ (cf. FIG. 4) et ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) =\frac{p}{p^{2}+1}\left( 1-\exp \left( -2\, p\, \pi \right) \right)$.

   Figure: la première période du cosinus.

   

5. Théorème. On obtient l'image Laplace d'une fonction périodique en divisant l'image Laplace de la première période par le facteur adéquat, soit :

   $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\frac{{\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) }{1-\exp \left( -p\, T\right) }$$ (12)

   
   
   exo 30.  Déterminer l'image Laplace du créneau positif, c'est à dire du périodisé de $\mathrm{H}\left( t \right) -\mathrm{H}\left( t-T/2 \right)$.
   exo 31.  Déterminer l'image Laplace du créneau alternatif, c'est à dire du périodisé de $\mathrm{H}\left( t \right) -2\mathrm{H}\left( t-T/2 \right) +\mathrm{H}\left( t-T \right)$.