1.13 Mesure de Dirac

1. Problème de Dirac. Si l'on applique la formule de dérivation à la fonction $\mathrm{H}$ de Heaviside, c'est à dire à la fonction $\mathrm{H}\left( t \right) =\left( \mathrm{if}\; t\geq 0\: \mathrm{then}\: 1\; \mathrm{otherwise}\; 0\right)$, on a ${\cal L}\left( \mathrm{H} \right) \left( p\right) =\frac{1}{p}$ et donc ${\cal L}\left( \mathrm{H}' \right) \left( p\right) =1$... quoique $\mathrm{H}'\left( p\right) =0$ pour tout $t\neq 0$... ce qui n'est pas possible avec une fonction.
2. Définition : mesure de Dirac. Ce n'est pas une fonction. En particulier, la notation $\delta \left( t\right)$ ne doit pas apparaître de façon isolée. Cet objet est défini par le fait que, pour toute fonction $f$ continue en $t=0$, on a
   $$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta \left( t\right) f\left( t\right) \, \mathrm{d}t=f\left( 0\right)$$

3. Représentation. On peut se représenter la mesure de Dirac comme étant "la limite" de la suite de fonctions $g_{\varepsilon }\: :\, t\mapsto \frac{1}{2\varepsilon }\left( \mathrm{H}\left( t-\varepsilon \right) -\mathrm{H}\left( t+\varepsilon \right) \right)$... mais cette représentation ne justifie aucun calcul puisque, précisément, cette "limite" n'existe pas en tant que fonction.