1.1 Définition et premiers résultats

1. Définition : Laplace. Soit $f$ une fonction continue par morceaux définie sur l'intervalle $\left[ 0,\, +\infty \right]$. On appelle transformée de Laplace de cette fonction la nouvelle fonction définie par

   $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\int _{t=0}^{t=\infty }\exp \left( -p\, t\right) \, f\left( t\right) \, \, \mathrm{d}t$$ (1)

   
   
   L'utilisation de la notation ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$ suppose que $p\in \mathbb{C}$ est choisi de telle sorte que l'intégrale converge.
2. Définition : ordre exponentiel. Dire que ``la fonction $f$ est d'ordre exponentiel à l'infini'' signifie qu'il existe un $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que $\exp \left( -\alpha \, t\right) \, f\left( t\right) \rightarrow 0$ lorsque $t\rightarrow \infty$.
   exo 1.  Montrer que l'on peut toujours supposer que cet $\alpha$ est réel (abscisse de convergence).
3. Théorème d'existence. Si la fonction $f$, définie sur $\left[ 0,\, +\infty \right]$ est continue par morceaux et d'ordre exponentiel $\alpha$ à l'infini, alors son image Laplace est définie pour tout $p\in \mathbb{C}$ dont la partie réelle est supérieure à $\alpha$ (i.e. $\Re p>\alpha$).
4. Théorème de linéarité. Si les fonctions $f$ et $g$, définies sur $\left[ 0,\, +\infty \right]$ sont continues par morceaux et d'ordre exponentiel $\alpha$ à l'infini, alors il en est de même pour les combinaisons linéaires de $f$ et $g$ et l'on a, pour tout choix des constantes $a,\, b$ la relation

   $${\cal L}\left( a\, f+b\, g \right) \left( p\right) =a\, {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) +b\, {\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$ (2)

   
   

5. Formule des polynômes. On a ${\cal L}\left( 1 \right) \left( p\right) =\frac{1}{p}$, ${\cal L}\left( t \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}}$ et plus généralement

   $${\cal L}\left( \frac{t^{k}}{k\, !} \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{k+1}}$$ (3)

   
   
   exo 2.  Démontrer ce résultat par récurrence.