1.2 Convergence : quelques rappels

1. Définition : limite. ``Pour ajuster le résultat, il suffit d'ajuster les conditions initiales''. Autrement dit $\left( u_{n}\right) \rightarrow \lambda$ veut dire $\forall \varepsilon >0\, :\, \exists N\in \mathbb{N}\, :\, \forall n\geq N\, :\, \left\vert u_{n}-\lambda \right\vert <\varepsilon$. Suppose de connaître la limite.
   exo 3.  Redémontrer qu'il y a unicité de la limite... lorsqu'elle existe.
2. Définition : critère de Cauchy. Il s'agit de la propriété : $\forall \varepsilon >0\, :\, \exists N\in \mathbb{N}\, :\, \forall n\geq N\, :\, \forall p\in \mathbb{N}\, :\, \left\vert u_{n+p}-u_{n}\right\vert <\varepsilon$.
   exo 4.  Montrer que, sans aucune hypothèse, on a toujours : existence d'une limite implique critère de Cauchy.
3. Théorème. Pour des suites dans des espaces raisonnables, on a aussi : le critère de Cauchy implique l'existence d'une limite. C'est plus compliqué à mettre en oeuvre, mais ne suppose pas de connaître la limite au préalable.
   exo 5.  Bien comprendre le rôle de $\forall p\in \mathbb{N}$. Ainsi la suite $u_{n}=\sum _{1}^{n}\frac{1}{k}$ ne converge pas, même si $\left\vert u_{n+1}-u_{n}\right\vert \rightarrow 0$. Le redémontrer.
4. Définition : convergence simple. Lorsque l'on étudie des suites de fonctions $\left( f_{n}\right)$, la convergence simple des $f_{n}$ vers $g$ veut dire que pour chaque $t$, la suite $f_{n}\left( t\right)$ tend vers $g\left( t\right)$.
5. Définition : convergence uniforme. Lorsque l'on étudie des suites de fonctions $\left( f_{n}\right)$, la convergence uniforme des $f_{n}$ vers $g$ veut dire que $\sup _{x}\left\vert f_{n}\left( x\right) -g\left( x\right) \right\vert$ tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow \infty$.
6. Théorème de continuité. Si chaque fonction $f_{n}$ est continue et si la suite $\left( f_{n}\right)$ converge uniformément vers $g$, alors la fonction $g$ est continue.
7. Théorème d'intégration sur un segment $\left[ a,\, b\right]$. Si les fonctions $f_{n}$ sont intégrables sur le même segment $\left[ a,\, b\right]$, et si la suite $\left( f_{n}\right)$ converge uniformément vers $g$, alors la fonction $g$ est intégrable, et on a $\int _{a}^{b}g\left( t\right) \, \mathrm{d}t=\lim \int _{a}^{b}f_{n}\left( t\right) \, \mathrm{d}t$.e.
   exo 6.  Démontrer ce résultat en utilisant le critère de Cauchy.
8. Définition : continuité par morceaux sur un intervalle $\left( a,\, b\right)$. Par définition, il s'agit d'une fonction qui (1) ne possède qu'un nombre fini de points de discontinuité et qui (2) admet en chaque point une limite à gauche ($x\neq a$) et une limite à droite ($x\neq b$).
9. Définition : intégrale d'une fonction positive, continue par morceaux sur un intervalle $\left( a,\, b\right)$. Par définition, on pose $\int _{a}^{b}f\left( t\right) \, \mathrm{d}t=\sup \int _{\alpha }^{\beta }f\left( t\right) \, \mathrm{d}t$, la borne supérieure étant prise sur tous les segments $\left[ \alpha ,\, \beta \right]$ contenus dans $\left( a,\, b\right)$. La question qui se pose est de savoir si cette borne est $+\infty$ ou bien est réelle (finie).
10. Définition : fonction absolument intégrable. Cela veut dire que $\left\vert f\right\vert$ est intégrable.
    exo 7.  Démontrer (Cauchy) que l'intégrabilité de $\left\vert f\right\vert$ entraîne celle de $f$.