1.3 Image de l'exponentielle

1. Définition : exponentielle. La fonction $\exp$ est définie dans $\mathbb{C}$ tout entier par $\exp z=\sum _{n\in \mathbb{N}}\frac{z^{n}}{n\, !}$. Cette série converge normalement dans toute partie bornée du plan complexe. Un calcul élémentaire montre que $\exp \left( z_{1}+z_{2}\right) =\exp z_{1}\times \exp z_{2}$.
   exo 8.  Redémontrer cette formule.
2. Définition : sinus et cosinus. Les coefficients de la série exponentielle étant réels, on a : $\overline{\exp z}=\exp \overline{z}$ et donc $\left\vert \exp \left( i\, t\right) \right\vert ^{2}=\exp \left( i\, t\right) \, \exp \left( -i\, t\right) =\exp 0=1$. Les points $\exp \left( i\, t\right) ,\, \, t\in \mathbb{R}$ viennent se placer sur le cercle trigonométrique $\mathbb{U}=\left\{ z\, \left/ \, \left\vert z\right\vert =1\right. \right\}$. On définit $\sin$ et $\cos$ par : $\exp \left( i\, t\right) =\cos t+i\sin t$.
3. Théorème. Tous les points de $\mathbb{U}$ peuvent s'écrire $\exp \left( i\, t\right)$, et la fonction $t\mapsto \exp \left( i\, t\right)$ est périodique, sa plus petite période étant $2\pi \approx 6.28$.
4. Formule fondamentale pour la transformation de Laplace :
   $${\cal L}\left( \exp t \right) \left( p\right) =\frac{1}{p-1}$$

5. Calcul direct. Posons $A=\int _{0}^{\infty }\exp \left( -p\, t\right) \exp t\, =\int _{0}^{\infty }\exp \left( \left( 1-p\right) t\right) \, \mathrm{d}t$. Supposant $p\neq 1$, nous procédons au changement de variable $\left( p-1\right) t=x$. On a donc $\, \mathrm{d}t=\frac{1}{p-1}\: \mathrm{d}x$ et $A=\int _{t=0}^{t=\infty }\exp \left( \left( 1-p\right) t\right) \, \mathrm{d}t=\frac{1}{p-1}\int _{x=0}^{x=\infty }\exp \left( -x\right) \: \mathrm{d}x$. On utilise alors $\int _{0}^{\infty }\exp \left( -x\right) \: \mathrm{d}x=1$ pour conclure.
6. Interprétation. On a $\exp t=\sum _{0}^{\infty }\frac{t^{n}}{n\, !}$ et donc ${\cal L}\left( \exp t \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( \sum _{0}^{\infty }\frac{t^{n}}{n\, !} \right) \left( p\right)$. D'après ce qui précède, $B=\sum _{0}^{\infty }{\cal L}\left( \frac{t^{n}}{n\, !} \right) \left( p\right) =\sum _{0}^{\infty }\frac{1}{p^{n+1}}$. Supposons $\left\vert p\right\vert >1$, soit $\left\vert q\right\vert <1$ si l'on pose $q\doteq \frac{1}{p}$. On a alors $B=\sum _{1}^{\infty }q^{n}=\frac{q}{1-q}=\frac{1}{p-1}$. Il se trouve que $A=B$.
   exo 9.  Justifier l'interversion entre $\sum$ et $\int$ dans la formule ci-dessus.
7. Formule générale. Pour tout $a\in \mathbb{C}$ et tout $p\in \mathbb{C}$ tel que $\Re p>\Re a$, on a :

   $${\cal L}\left( \exp a\, t \right) \left( p\right) =\frac{1}{p-a}$$ (4)

   
   

8. Formule des sinus et cosinus. On a

   $${\cal L}\left( \sin \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}+1}\; \, ;\; \, {\cal L}\left( \cos \right) \left( p\right) =\frac{p}{p^{2}+1}$$ (5)

   
   
   exo 10.  Détailler le calcul à partir de la formule d'Euler : $\exp \left( i\, t\right) =\cos t+i\, \sin t$