1.4 Décalage temporel

1. Définition : décalage temporel. Partons de la fonction $\sin$, c'est à dire de la fonction $x\mapsto \left\{ \begin{array}{c} if\quad x>0\quad then\, \sin x\\ otherwise\quad 0 \end{array}\right.$, correspondant à la FIG. 1.

   La FIG. 2 montre ce qu'il convient d'entendre par décalage temporel à gauche (avance) et par décalage temporel à droite (retard). On constate que ces deux opérations ne sont pas réciproques l'une de l'autre.

   Figure 2: Les deux sortes de décalage ne commutent pas.

   [Avance]

   [Retard]

2. Définition : Heaviside. On appelle fonction de Heaviside la fonction valant $1$ pour $t>0$ et $0$ pour $t<0$. La transformation ``avance'' d'une fonction s'écrit alors $h\left( t\right) =f\left( t+a\right) \times \mathrm{H}\left( t \right)$.
   exo 11.  Calculer l'image Laplace de la fonction $t\mapsto \sin \left( t+a\right) \times \mathrm{H}\left( t \right)$.
3. Formule des retards. Soit $f$ une fonction objet, et $g$ la fonction obtenue par la transformation $g\left( t\right) =f\left( t-a\right)$ avec $a>0$. Autrement dit, $g$ est en retard sur $f$. On a alors ${\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =\int _{0}^{\infty }g\left( t\right) ... ...t _{t=0}^{t=\infty }f\left( t-a\right) \exp \left( -p\, t\right) \, \mathrm{d}t$. En posant $x=t-a$, il vient ${\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =\int _{x=-a}^{x=+\infty }f\left( x\r... ...\mathrm{d}x=\exp \left( -p\, a\right) {\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$. En effet la fonction $f$ est nulle sur $\left[ -a,\, 0\right]$ et donc l'intervalle d'intégration peut être ramené à $\left[ 0,\, +\infty \right]$. En résumé

   $${\cal L}\left( f\left( t-a\right) \right) \left( p\right) =\exp \left( -p\, a\right) {\cal L}\left( f\left( t\right) \right) \left( p\right)$$ (6)

   
   
   exo 12.  Calculer l'image Laplace de la fonction $t\mapsto t-a$. Comparer avec la retardée de la fonction $t\mapsto t$.
4. Formule des translations. Pour $c\in \mathbb{C}$, on a la formule
   $${\cal L}\left( f \right) \left( p-c\right) ={\cal L}\left( t\mapsto f\left( t\right) \exp \left( c\, t\right) \right) \left( p\right)$$
   exo 13.  Démontrer la formule ci-dessus.
   exo 14.  Utiliser cette formule pour retrouver l'image Laplace du sinus et du cosinus.
5. Formule des dilatations (interprétation par un changement de l'unité de temps). Pour $a>0$, on a :

   $${\cal L}\left( f\left( \frac{t}{a}\right) \right) \left( p\right) =a\, {\cal L}\left( f \right) \left( a\, p\right)$$ (7)