1.5 Dérivation

1. Dérivée de l'objet. Pour $f\left( t\right) =\frac{t^{n+1}}{\left( n+1\right) !}$, on a ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{n+2}}$. Mais aussi $f'\left( t\right) =\frac{t^{n}}{n\, !}$ et donc ${\cal L}\left( f' \right) \left( p\right) =p\, {\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$. Par linéarité, on obtient pour tout polynôme :

   $${\cal L}\left( f' \right) \left( p\right) =p\, {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) -f\left( 0\right)$$ (8)

   
   
   exo 15.  Utiliser une intégration par parties et montrer que cette formule s'applique à toute fonction ayant une dérivée continue par morceaux.
2. Exemples élémentaires.
   • [$\exp$] ${\cal L}\left( \exp \right) \left( p\right) =\frac{1}{p-1}$. D'où ${\cal L}\left( \exp ' \right) \left( p\right) =\frac{p}{p-1}-1=\frac{1}{p-1}={\cal L}\left( \exp \right) \left( p\right)$.
   • [$\sin$] ${\cal L}\left( \sin \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}+1}$. D'où ${\cal L}\left( \sin ' \right) \left( p\right) =\frac{p}{p^{2}+1}-0={\cal L}\left( \cos \right) \left( p\right)$.
   • [$\cos$] ${\cal L}\left( \cos \right) \left( p\right) =\frac{p}{p^{2}+1}$. D'où ${\cal L}\left( \cos ' \right) \left( p\right) =\frac{p^{2}}{p^{2}+1}-1={\cal L}\left( -\sin \right) \left( p\right)$.
   exo 16.  Donner la formule de la dérivée seconde. La vérifier sur ces trois exemples.

3. Dérivée de l'image. Pour $f\left( t\right) =\frac{t^{n}}{n\, !}$, on a ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{n+1}}$. Donc $\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, p ^{ }}{\cal L}\left( f\left( t\right) \rig... ...rac{n+1}{p^{n+2}}=-{\cal L}\left( t\, f\left( t\right) \right) \left( p\right)$. Par linéarité, on obtient pour tout polynôme :

   $$\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, p ^{ }}{\cal L}\left( f\left( ... ...) \left( p\right) =-{\cal L}\left( t\, f\left( t\right) \right) \left( p\right)$$ (9)

   
   
   exo 17.  Utiliser une intégration par parties et montrer que cette formule s'applique à toute fonction ayant une dérivée continue par morceaux.
4. Théorème. L'image Laplace d'une fonction continue par morceaux est holomorphe sur $\Re p>\alpha$.
   exo 18.  Utiliser (9) pour le montrer. Expliquer pourquoi (8) n'implique pas que $f$ soit indéfiniment dérivable.
5. Réciproque. Si la quantité $\frac{f\left( t\right) }{t}$ admet une limite finie pour $t\rightarrow 0$, on a alors ${\cal L}\left( \frac{f\left( t\right) }{t} \right) \left( p\right) =\int _{p}^{\infty }{\cal L}\left( f \right) \left( s\right) \, \mathrm{d}s$
   exo 19.  Démontrer ce résultat et expliquer pourquoi l'intégrale part de $p=\infty$.
   exo 20.  Quelle est l'image Laplace de $t\mapsto \int _{t}^{\infty }\frac{f\left( u\right) }{u}\, \mathrm{d}u$?
6. Exemple. De ${\cal L}\left( \sin \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}+1}$, on tire ${\cal L}\left( \frac{\sin t}{t} \right) \left( p\right) =\int _{p}^{\infty }{\... ...ft( s\right) \, \mathrm{d}s=\int _{p}^{\infty }\frac{1}{1+s^{2}}\, \mathrm{d}s$. On en déduit ${\cal L}\left( \frac{\sin t}{t} \right) \left( p\right) =\frac{\pi }{2}-\arctan p$. Évaluée en $p=0$, cette formule donne $\int _{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t}\, \mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$.