1.7 Décomposition en éléments simples

1. Rappel : Bezout. Si $D\left( z\right) =D_{1}\left( z\right) \, D_{2}\left( z\right)$ avec $\gcd \left( D_{1},\, D_{2}\right) =1$ alors la fraction rationnelle $F\left( z\right) =\frac{N(z)}{D_{1}\left( z\right) \, D_{2}\left( z\right) }$ se décompose en $F\left( z\right) =P\left( z\right) +\frac{N_{1}\left( z\right) }{D_{1}\left( z\right) }+\frac{N_{2}\left( z\right) }{D_{2}\left( z\right) }$, avec $P\in \mathbb{C}\left[ z\right]$, $\mathrm{dg}N_{1}<\mathrm{dg}D_{1}$ et $\mathrm{dg}N_{2}<\mathrm{dg}D_{2}$.
   exo 22.  Redémontrer cette propriété.
2. Rappel : Taylor. La fraction $\frac{N\left( z\right) }{\left( z-a\right) ^{n}}$, avec $\mathrm{dg}N<n$, se décompose en $\sum _{1}^{n}\frac{c_{k}}{\left( z-a\right) ^{k}}$.
   exo 23.  Redémontrer cette propriété.
3. Définition : décomposition en éléments simples. Il s'agit de factoriser le dénominateur, puis d'appliquer Bezout+Taylor.
4. Définition : pôles. Il s'agit des valeurs qui annulent le dénominateur irréductible (et donc n'annulent pas le numérateur).
5. Définition : résidu. Le résidu relatif au pôle $a$ est le coefficient de $\frac{1}{z-a}$ dans la décomposition de la fraction en éléments simples.
6. Formule pour un pôle simple.

   $$If\quad F\left( z\right) =\frac{N\left( z\right) }{D\left( z\righ... ... a\right) }{D_{1}\left( a\right) }=\frac{N\left( a\right) }{D'\left( a\right) }$$ (10)

   
   
   exo 24.  Décomposer $\frac{z^{2}+1}{z\left( z-1\right) \left( z+2\right) }$. Décomposer $\frac{2+z}{z^{2}\left( z+1\right) }$.
   exo 25.  Décomposer $\frac{1}{p^{2}+3p+2}$ et $\frac{1}{p\left( p^{2}+3p+2\right) }$ en éléments simples.