1.8 Équations différentielles affines

1. Résultat. L'image Laplace d'une équation différentielle à coefficients constants se réduit à une équation affine, dépendant des conditions initiales.
2. Un exemple. Considérons l'équation différentielle
   $\left\{ \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 }}y\left( t... ...ight] \: \mathrm{then}\: 1\; \mathrm{otherwise}\; 0\right) \end{array}\right.$
   Il vient $\left( p^{2}\, {\cal L}\left( y \right) \left( p\right) -p\, y'\left( 0\right)... ...l L}\left( y \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$.
   Ce qui conduit à ${\cal L}\left( y \right) \left( p\right) \left( p^{2}+4p+3\right) =\frac{1}{p}\left( 1-\exp \left( -p\right) \right) +y'(0)+p\, y(0)+4y\left( 0\right)$
   Puis à ${\cal L}\left( y \right) \left( p\right) =\frac{1}{p\left( p^{2}+4p+3\right) }... ...\right) }-\frac{1}{p\left( p+1\right) \left( p+3\right) }\exp \left( -p\right)$.
3. Suite. On a $\frac{1}{p\left( p+3\right) }=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{p}-\frac{1}{p+3}\right)$. Donc $\frac{1}{p\left( p+3\right) }=\frac{1}{3}{\cal L}\left( 1-\exp \left( -3t\right) \right) \left( p\right)$.
   On a $\frac{1}{p\left( p+1\right) \left( p+3\right) }=\frac{1}{3}\frac{1}{p}-\frac{1... ...xp \left( -t\right) +\frac{1}{6}\exp \left( -3t\right) \right) \left( p\right)$.
   exo 26.  On constate que la somme des résidus $\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$ est nulle. Quelle en est la raison ?
4. Fin. Avec la formule des retards, on obtient pour résultat $y\left( t\right) =$
   $$\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\exp \left( -3t\right) \right) \, \... ...ight) -\frac{1}{6}\exp \left( 3-3t\right) \right) \mathrm{H}\left( t-1 \right)$$

5. Interprétation. La FIG. 3default donne les tracés de la fonction excitatrice (en haut à gauche), de la réponse (en haut à droite) et de ses dérivées (en bas). On vérifie que la réponse est dérivable en tout point, cette dérivée étant elle même continue. Par contre, la dérivée seconde n'est que continue par morceaux et présente un saut en $t=1$ (correspondant au point anguleux de la dérivée première).

   Figure: Excitation, réponse et dérivées successives.