projet de DS : Transformation de Laplace

Date: corrigé - A2 - octobre 2002

1 Algorithme de Bezout

1. Poser les calculs du calcul des coefficients de Bezout associés aux nombres $a=246$ et $b=213$. Détailler l'une des étapes du calcul. Décrire les résultats obtenus.
   1. Le calcul des coefficients de Bezout se fait par itération de l'algorithme d'Euclide. A chaque étape, on calcule le quotient entier ($q$) des deux nombres $a, b$ puis on remplace le couple $\left( a, b\right)$ par le couple $\left( b, a-b q\right)$. L'algorithme s'arrête lorsque $b$ devient nul.
   2. Cet algorithme peut être décrit en faisant agir la matrice $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & -q \end{array}\right)$ sur la colonne $\left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)$. On obtient le tableau ci-dessous :
      

      $$	$$	$246$	$1$	$0$
      $$	$$	$213$	$0$	$1$
      $0$	$1$	$213$	$0$	$1$
      $1$	$-1$	$33$	$1$	$-1$
      $0$	$1$	$33$	$1$	$-1$
      $1$	$-6$	$15$	$-6$	$7$
      $0$	$1$	$15$	$-6$	$7$
      $1$	$-2$	$3$	$13$	$-15$
      $0$	$1$	$3$	$13$	$-15$
      $1$	$-5$	$0$	$-71$	$82$

      
      
   3. On vérifie que les déterminants restent égaux à $\pm 1$. Ainsi $13\times 82-15\times 71=1$.
   4. Les coefficients de Bezout sont $13$ et $-15$, tandis que $3$ est le pgcd de $246$ et $213$. On vérifie que $246\times \left( +13\right) +213\times \left( -15\right) =3$.
   5. Enfin les nombres $82$ et $71$ vérifient $\frac{246}{213}=\frac{82}{71}$, cette dernière fraction étant irréductible.
2. Même question avec les polynômes $x^{3}-1$ et $x^{2}-3x+2$.
   1. En utilisant la division euclidienne des polynômes, on obtient :
      

      $$	$$	$x^{3}-1$	$1$	$0$
      $$	$$	$x^{2}-3 x+2$	$0$	$1$
      $0$	$1$	$x^{2}-3 x+2$	$0$	$1$
      $1$	$-x-3$	$7 x-7$	$1$	$-x-3$
      $0$	$1$	$7 x-7$	$1$	$-x-3$
      $1$	$-\frac{1}{7} x+\frac{2}{7}$	$0$	$-\frac{1}{7} x+\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7} x^{2}+\frac{1}{7} x+\frac{1}{7}$

      
      
   2. Plus que jamais, on vérifie à chaque étape que les déterminants restent égaux à $\pm 1$.
   3. Les coefficients de Bezout sont $1$ et $x+3$, tandis que $7\left( x-1\right)$ est un pgcd de $x^{3}-1$ et $x^{2}-3 x+2$. On vérifie que $\left( x^{3}-1\right) \times 1+\left( x^{2}-3 x+2\right) \times \left( -x-3\right) =7\left( x+1\right)$.
   4. Enfin les polynômes $x^{2}+x+1$ et $x-2$ vérifient $\frac{a}{b}=\frac{x^{2}+x+1}{x-2}$, cette dernière fraction étant irréductible.
3. Remarque sur la conduite des calculs.
   1. Pour les polynômes, une autre façon de conduire les calculs consiste à ne prendre que le "quotient dominant". Les calculs sont plus simples, mais plus longs :
      

      $$	$$	$x^{3}-1$	$1$	$0$
      $$	$$	$x^{2}-3 x+2$	$0$	$1$
      $0$	$1$	$x^{2}-3 x+2$	$0$	$1$
      $1$	$-x$	$3 x^{2}-2 x-1$	$1$	$-x$
      $0$	$1$	$3 x^{2}-2 x-1$	$1$	$-x$
      $1$	$\frac{-1}{3}$	$-\frac{7}{3}x+\frac{7}{3}$	$\frac{-1}{3}$	$\frac{1}{3}x+1$
      $0$	$1$	$-\frac{7}{3}x+\frac{7}{3}$	$\frac{-1}{3}$	$\frac{1}{3}x+1$
      $1$	$\frac{9}{7}x$	$x-1$	$-\frac{3}{7}x+1$	$\frac{3}{7}x^{2}+\frac{2}{7}x$
      $0$	$1$	$x-1$	$-\frac{3}{7}x+1$	$\frac{3}{7}x^{2}+\frac{2}{7}x$
      $1$	$\frac{7}{3}$	$0$	$-x+2$	$x^{2}+x+1$

      
      
   2. On obtient un système de coefficients de Bezout puisque :
      $$\left( x^{3}-1\right) \left( -\frac{3}{7}x+1\right) +\left( x^{2}... ...ght) \left( \frac{3}{7}x^{2}+\frac{2}{7}x\right) =\frac{3}{7}\left( x+1\right)$$
      mais il n'est pas le meilleur possible (enlever $\frac{3}{7}$ fois la ligne suivante).

2 Transformée directe

1. On considère la fonction $\psi$ définie par $\psi \left( t\right) =0$ pour $t<0$, $\psi \left( t\right) =-t$ pour $0<t<1$ et $\psi \left( t\right) =0$ pour $t>1$. Faire un croquis. Exprimer $\psi$ à l'aide de la fonction de Heaviside. Calculer la transformée de Laplace ${\cal L}\left( \psi \right) \left( p\right)$ de la fonction $\psi$.
   1. On a $\psi \left( t\right) =-t \mathrm{H}\left( t\right) +t \mathrm{H}\left( t-1\right)$. En effet la fonction caractéristique de l'intervalle $\left[ 0, 1\right]$ est $\mathrm{H}\left( t\right) -\mathrm{H}\left( t-1\right)$. On multiplie par la valeur voulue sur cet intervalle. L'allure de cette fonction est donnée
   2. On rappelle que $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\int _{0}^{\infty }\mathrm{f}\left( t\right) \exp \left( -t p\right) dt$$. Les formules usuelles donnent directement ${\cal L}\left( t \mathrm{H}\left( t \right) \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}}$ et ${\cal L}\left( \left( t+1\right) \mathrm{H}\left( t \right) \right) \left( p\right) =\frac{p+1}{p^{2}}$. La formule des retards permet de conclure que :
      $$\displaystyle \mathrm{Lap}\left( \psi \right) \left( p\right) =-\frac{1}{p^{2}}+\frac{\left( p+1\right) }{p^{2}} \exp \left( -p\right)$$

   3. La FIG. 1 donne, à gauche, le graphe de $\psi$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

   Figure 1: La fonction $\psi$ et son image Laplace.

2. Soit $h$ définie par $h\left( t\right) =\psi \left( t\right) +\psi \left( t-2\right) +\psi \left( t-4\right)$. Croquis. Image Laplace.
   1. La formule des retards donne :
      $${\cal L}\left( h \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( \psi \ri... ...) \times \left( 1+\exp \left( -2 p\right) +\exp \left( -4 p\right) \right)$$

   2. La FIG. 2 donne, à gauche, le graphe de $h$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

      Figure 2: La fonction $h$ et son image Laplace.

   3. Les deux fois, on peut vérifier que ${\cal L}\left( f\right) \left( 0\right) =\int _{0}^{+\infty }f\left( t\right) \mathrm{d}t$
3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :
   $$\left( E\right) : \frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d} t ^{2 ... ...eft( t\right) =g\left( t\right) ,\; f\left( 0\right) =1,\; f'\left( 0\right) =2$$
   1. On sait que ${\cal L}\left( \frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d} t ^{ }}f\left( t\right) \rig... ...( p\right) =p\times {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) -f\left( 0\right)$.
   2. L'image-Laplace de l'équation donnée est donc :
      $$\left( p \left( p {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) -1... ...l L}\left( f \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$

3 Convolutions

1. Mettre la valeur de ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$ trouvée en (2.3) sous la forme ${\cal L}\left( A \right) \left( p\right) +{\cal L}\left( B \right) \left( p\right) \times {\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$. L'équation précédente se réécrit :

   $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\frac{p+5}{\left( p+2\r... ...left( p+2\right) \left( p+1\right) }{\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$ (1)

   
   

2. Déterminer les fonctions $A$ et $B$ correspondantes.
   1. Par définition, ${\cal L}\left( A \right) \left( p\right) =\frac{p+5}{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }$ et ${\cal L}\left( B \right) \left( p\right) =\frac{1}{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }$.
   2. Une décomposition en éléments simples donne $\frac{p+5}{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }=\frac{4}{p+1}+\frac{-3}{p+2}$ et donc :
      $$A\left( t\right) =4 \exp \left( -t\right) -3 \exp \left( -2 t\right)$$

   3. Une décomposition en éléments simples donne $\frac{1}{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }=\frac{1}{p+1}+\frac{-1}{p+2}$ et donc :
      $$B\left( t\right) =\exp \left( -t\right) -\exp \left( -2 t\right)$$

3. En déduire la valeur de la fonction $f$ (utilisant une convolution).
   1. On sait que la transformation de Laplace est linéaire et que le produit de deux images-Laplace est l'image-Laplace de la convolution des deux fonctions.
   2. On a donc $$f\left( t\right) =\mathrm{A}\left( t\right) +\int _{0}^{t}\mathrm{g}\left( u\right) \mathrm{B}\left( t-u\right) du$$
4. Application : on choisit $g\left( t\right) =\exp \left( -3t\right)$. Résoudre complètement l'équation différentielle $\left( E\right)$. En appliquant la formule précédente, on obtient :
   

   $$f\left( t\right) = 4 \exp \left( -t\right) -3 \exp \left( -2 t\right) +\int _{... ..., \left( \exp \left( -t+u\right) -\exp \left( -2 t+2 u\right) \right) du$$

   $$= 4 \exp \left( -t\right) -3 \exp \left( -2 t\right) +\exp \l... ...\int _{0}^{t}e^{-2 u} du-\exp \left( -2 t\right) \int _{0}^{t}e^{-u} du$$

   $$= \frac{9}{2} \exp \left( -t\right) -4 \exp \left( -2 t\right) +\frac{1}{2} \exp \left( -3 t\right)$$

   
   

5. Vérifier le résultat obtenu.
   1. On commence par vérifier que $f\left( 0\right) =1,\; f'\left( 0\right) =2$. Il vient $\frac{9}{2}-4+\frac{1}{2}=1$ et $\frac{9}{2}\left( -1\right) -4\left( -2\right) +\frac{1}{2}\left( -3\right) =2$.
   2. Puis, on reporte dans $\frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d} t ^{2 }}f\left( t\right) +3\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d} t ^{ }}f\left( t\right) +2f\left( t\right)$. On trouve
      $$\left( 1-3+2\right) \frac{9}{2} \exp \left( -t\right) -\left( 4... ...-9+2\right) \frac{1}{2} \exp \left( -3 t\right) =\exp \left( -3 t\right)$$

4 Transformation inverse

1. A partir de maintenant, la fonction $g$ est la fonction périodique, de période $T=2$, qui coïncide avec $\psi$ sur l'intervalle $\left[ 0, 2\right]$. Croquis. Image Laplace.
   1. Appelons $\tau$ la fonction $\tau \left( t\right) =t-2 \mathrm{E}\left( \frac{1}{2} t\right)$, la fonction $\mathrm{E}$ désignant la partie entière. Alors $g\left( t\right) =\mathrm{H}\left( t \right) \times \left( \psi \circ \tau \right) \left( t\right)$.
   2. Réciproquement, $\psi \left( t\right) =g\left( t\right) -g\left( t-2\right)$. Cette formule est évidente pour $2<t$ où $\psi \left( t\right) =0$. Pour $0<t<2$, la validité de la formule vient de $g\left( t-2\right) =0$

      Figure: La fonction $g$ est la périodisée de $\psi$.

      

   3. Par la formule des retards et la linéarité, il vient (formule du cours) :
      $${\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =\frac{{\cal L}\left( \psi \right) \left( p\right) }{1-\exp \left( -2 p\right) }$$

   4. A l'origine, la fonction ${\cal L}\left( g\right)$ est singulière. Un développement limité donne
      $$\displaystyle {\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =-\frac{1}... ...ac{1}{12}+\frac{1}{48} p+\frac{7}{720} p^{2}+\mathrm{O}\left( p^{3}\right)$$
      Le terme principal $-\frac{1}{4}p^{-1}$ s'interprète de la façon suivante :
      $$\lim _{p\rightarrow 0}p\times {\cal L}\left( g \right) \left( p\r... ... _{t\rightarrow \infty }\frac{1}{t}\int _{0}^{t}g\left( u\right) \mathrm{d}u$$

2. On définit la fonction auxiliaire $\varphi$ par ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( f \right) \left( p\right) \times \left( 1-\exp \left( -2 p\right) \right)$. Utiliser (2.3) pour exprimer ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right)$ sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles. L'équation (1) conduit immédiatement à :

   $$\displaystyle {\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) =\fr... ...\right) \exp \left( -2 p\right) }{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }$$ (2)

   
   

3. Déterminer $\varphi _{2}\left( t\right)$ et $\varphi _{3}\left( t\right)$ telles que ${\cal L}\left( \varphi _{2} \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2} \left( p+2\right) }$ et ${\cal L}\left( \varphi _{3} \right) \left( p\right) =$ $\frac{p+5}{\left( p+1\right) \left( p+2\right) }$.
   1. On décompose la première fraction en éléments simples :
      $$F\left( p\right) ={\cal L}\left( \varphi _{2} \right) \left( p\ri... ...) }=+\frac{1}{2}\frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{4}\frac{1}{p}+\frac{1}{4}\frac{1}{p+2}$$
      Le coefficient de $\frac{1}{p^{2}}$ vient de la limite de $p^{2}\times F\left( p\right)$ pour $p\rightarrow 0$. Le coefficient de $\frac{1}{p+2}$ vient de la limite de $\left( p+2\right) \times F\left( p\right)$ pour $p\rightarrow -2$. Le dernier coefficient vient de ce que la somme des résidus est nulle.
   2. Les deux premiers termes sont des images-Laplace connues. Le troisième s'interprète par la formule des translations, et on trouve :
      $$\varphi _{2}\left( t\right) =\frac{1}{2} t-\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \exp \left( -2 t\right)$$

   3. De même, on décompose $-\frac{\left( p+5\right) }{\left( p+2\right) \left( p+1\right) }=-4\frac{1}{p+1}+3\frac{1}{p+2}$ et on obtient :
      $$\varphi _{3}\left( t\right) =-4 \exp \left( -t\right) +3 \exp \left( -2 t\right)$$

4. On donne ${\cal L}\left( \varphi _{1} \right) \left( p\right) =\frac{p^{3}+5 p^{2}-1}{p^{2} \left( p+2\right) \left( p+1\right) }$ lorsque $\varphi _{1}\left( t\right) =-\frac{1}{2} t+\frac{3}{4}+3 \exp \left( -t\right) -\frac{11}{4} \exp \left( -2 t\right)$. En déduire la valeur de la fonction $\varphi$.
   1. Il reste à appliquer la formule des retards aux fonctions $\varphi _{2}$ et $\varphi _{3}$ pour tenir compte des exponentielles de l'équation (2).
   2. On obtient la formule ci-dessous (bien noter la présence d'un facteur de Heaviside au début de chaque terme) :
      $$\varphi \left( t\right) =\left\{ \begin{array}{c} \mathrm{H}\left... ...left( -t+2\right) +3 \exp \left( -2 t+4\right) \right) \end{array}\right.$$

5. Montrer que $f$ admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique $\gamma$ telle que $\left\vert f\left( t\right) -\gamma \left( t\right) \right\vert \rightarrow 0$ lorsque $t\rightarrow \infty$. Écrire les équations permettant de déterminer $\gamma$.
   1. Le coefficient du premier ordre de l'équation différentielle est positif. Le système est donc un système dissipatif, et un régime permanent finit par s'établir. Ce régime est indépendant des conditions initiales, et ne dépend que de la force excitatrice. Or celle-ci est périodique.
   2. Déterminer la fonction $\gamma \left( t\right)$ revient à déterminer les conditions initiales $\alpha \doteq \gamma \left( 0\right)$ et $\beta \doteq \gamma '\left( 0\right)$ assurant une périodicité stricte, c'est à dire telles que $\gamma \left( T\right) =\alpha$ et $\gamma '\left( T\right) =\beta$.
   3. En utilisant la formule de convolution, on trouve :
      $$\alpha =-\frac{3}{4} \frac{\exp \left( -2\right) }{1-e^{\left( ... ...quad \beta =+\frac{1}{2}\frac{\exp \left( -2\right) }{1-\exp \left( -2\right) }$$