Ensait - A2 - Transformation de Laplace

Date: corrigé du DS du 22/01/2003 (durée 2h00)

1 Algorithme de Bezout

1. Poser les calculs du calcul des coefficients de Bezout associés aux nombres $a=219$ et $b=129$. Détailler l'une des étapes du calcul. Décrire les résultats obtenus.
   1. Le calcul des coefficients de Bezout se fait par itération de l'algorithme d'Euclide. A chaque étape, on calcule le quotient entier ($q$) des deux nombres $a,\, b$ puis on remplace le couple $\left( a,\, b\right)$ par le couple $\left( b,\, a-b\, q\right)$. L'algorithme s'arrête lorsque $b$ devient nul.
   2. Cet algorithme peut être décrit en faisant agir la matrice $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & -q \end{array}\right)$ sur la colonne $\left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)$. On obtient le tableau ci-dessous :

$$	$$	$219$	$1$	$0$
$$	$$	$129$	$0$	$1$
$0$	$1$	$129$	$0$	$1$
$1$	$-1$	$90$	$1$	$-1$
$0$	$1$	$90$	$1$	$-1$
$1$	$-1$	$39$	$-1$	$2$
$0$	$1$	$39$	$-1$	$2$
$1$	$-2$	$12$	$3$	$-5$
$0$	$1$	$12$	$3$	$-5$
$1$	$-3$	$3$	$-10$	$17$
$0$	$1$	$3$	$-10$	$17$
$1$	$-4$	$0$	$43$	$-73$

1. On vérifie que les déterminants restent égaux à $\pm 1$. Ainsi $3\times 17-\left( -10\right) \times \left( -5\right) =1$.
   1. Les coefficients de Bezout sont $-10$ et $+17$, tandis que $3$ est le pgcd de $219$ et $129$. On vérifie que $219\times \left( -10\right) +129\times \left( +17\right) =3$.
   2. Enfin les nombres $73$ et $43$ vérifient $\frac{219}{129}=\frac{73}{43}$, cette dernière fraction étant irréductible.
2. Même question avec les polynômes $x^{3}+8$ et $x^{2}-x-6$.
   1. En utilisant la division euclidienne des polynômes, on obtient :
      
      

      $$	$$	$x^{3}+8$	$1$	$0$
      $$	$$	$x^{2}-x-6$	$0$	$1$
      $0$	$1$	$x^{2}-x-6$	$0$	$1$
      $1$	$-x-1$	$7\, x+14$	$1$	$-x-1$
      $0$	$1$	$7\left( x+2\right)$	$1$	$-x-1$
      $1$	$\frac{1}{7}\left( -x+3\right)$	$0$	$\frac{1}{7}\left( -x+3\right)$	$\frac{1}{7}\left( x^{2}-2\, x+4\right)$

      
      
      
   2. Plus que jamais, on vérifie à chaque étape que les déterminants restent égaux à $\pm 1$.
   3. Les coefficients de Bezout sont $+1$ et $-\left( x+1\right)$, tandis que $7\left( x+2\right)$ est un pgcd de $x^{3}+8$ et $x^{2}-x-6$. On vérifie que $\left( x^{3}+8\right) \times \left( +1\right) +\left( x^{2}-x-6\right) \times \left( -x-1\right) =7\left( x+2\right)$.
   4. Enfin les polynômes $\frac{1}{7}\left( x^{2}-2\, x+4\right)$ et $\frac{1}{7}\left( x-3\right)$ vérifient $\frac{a}{b}=\frac{x^{2}-2\, x+4}{x-3}$, cette dernière fraction étant irréductible.

2 Transformée directe

1. On considère la fonction $\psi$ définie par $\psi \left( t\right) =0$ pour $t<0$, $\psi \left( t\right) =2-t$ pour $0<t<2$ et $\psi \left( t\right) =0$ pour $t>2$. Faire un croquis. Exprimer $\psi$ à l'aide de la fonction de Heaviside. Calculer la transformée de Laplace ${\cal L}\left( \psi \right) \left( p\right)$ de la fonction $\psi$.
   1. On a $\psi \left( t\right) =\left( 2-t\right) \, \mathrm{H}\left( t\right) +\left( t-2\right) \, \mathrm{H}\left( t-2\right)$. En effet la fonction caractéristique de l'intervalle $\left[ 0,\, 2\right]$ est $\mathrm{H}\left( t\right) -\mathrm{H}\left( t-2\right)$. On multiplie par la valeur voulue sur cet intervalle.
   2. On rappelle que $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\int _{0}^{\infty }\mathrm{f}\left( t\right) \, \exp \left( -t\, p\right) \, dt$$. Les formules usuelles donnent directement ${\cal L}\left( \left( 2-t\right) \, \mathrm{H}\left( t \right) \right) \left( p\right) =\frac{2\, p-1}{p^{2}}$ et ${\cal L}\left( t\, \mathrm{H}\left( t \right) \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}}$. La formule des retards permet de conclure que :
      $$\displaystyle \mathrm{Lap}\left( \psi \right) \left( p\right) =\frac{2\, p-1}{p^{2}}+\frac{1}{p^{2}}\, \exp \left( -2\, p\right)$$

   3. La FIG. 1 donne, à gauche, le graphe de $\psi$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

   Figure 1: La fonction $\psi$ et son image Laplace.

2. Soit $h$ définie par $h\left( t\right) =\psi \left( t\right) +\psi \left( t-3\right) +\psi \left( t-6\right)$. Croquis. Image Laplace.
   1. La formule des retards donne :
      $${\cal L}\left( h \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( \psi \ri... ...) \times \left( 1+\exp \left( -3\, p\right) +\exp \left( -6\, p\right) \right)$$

   2. La FIG. 2 donne, à gauche, le graphe de $h$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

      Figure 2: La fonction $h$ et son image Laplace.

   3. On peut vérifier, pour $\psi$ et pour $h$, que ${\cal L}\left( f\right) \left( 0\right) =\int _{0}^{+\infty }f\left( t\right) \, \mathrm{d}t$
3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :

   $$\left( E\right) \, :\, \frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 ... ...ft( t\right) =g\left( t\right) ,\; f\left( 0\right) =2,\; f'\left( 0\right) =-1$$ (1)

   
   
   1. On sait que ${\cal L}\left( \frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, t ^{ }}f\left( t\right) \rig... ...( p\right) =p\times {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) -f\left( 0\right)$.
   2. L'image-Laplace de l'équation donnée est donc :
      $$\left( p\, \left( p\, {\cal L}\left( f \right) \left( p\right) -2... ...l L}\left( f \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$

3 Convolutions

1. Mettre la valeur de ${\cal L}\left( f \right) \left( p\right)$ trouvée en (2.3) sous la forme ${\cal L}\left( A \right) \left( p\right) +{\cal L}\left( B \right) \left( p\right) \times {\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$. L'équation précédente se réécrit :

   $${\cal L}\left( f \right) \left( p\right) =\frac{2\, p+9}{\left( p... ...left( p+3\right) \, \left( p+2\right) }{\cal L}\left( g \right) \left( p\right)$$ (2)

   
   

2. Déterminer les fonctions $A$ et $B$ correspondantes.
   1. Par définition, ${\cal L}\left( A \right) \left( p\right) =\frac{2\, p+9}{\left( p+2\right) \, \left( p+3\right) }$ et ${\cal L}\left( B \right) \left( p\right) =\frac{1}{\left( p+2\right) \, \left( p+3\right) }$.
   2. On obtient la décomposition de ${\cal L}\left( A \right) \left( p\right)$ par évaluation en $p=-2$ et $p=-3$. On trouve $\frac{2\, p+9}{\left( p+2\right) \, \left( p+3\right) }=\frac{5}{p+2}+\frac{-3}{p+3}$. On vérifie que la somme des résidus est $2$, conformément au fait que $\lim _{p=\infty }p{\cal L}\left( A \right) \left( p\right) =2$. On en déduit que :
      $$A\left( t\right) =5\, \exp \left( -2\, t\right) -3\, \exp \left( -3\, t\right)$$

   3. De même, une décomposition en éléments simples de ${\cal L}\left( B \right) \left( p\right)$ donne $\frac{1}{\left( p+2\right) \, \left( p+3\right) }=\frac{1}{p+2}+\frac{-1}{p+3}$ et donc :
      $$B\left( t\right) =\exp \left( -2\, t\right) -\exp \left( -3\, t\right)$$

3. En déduire la valeur de la fonction $f$ (utilisant une convolution).
   1. On sait que la transformation de Laplace est linéaire et que le produit de deux images-Laplace est l'image-Laplace de la convolution des deux fonctions.
   2. On a donc $$f\left( t\right) =\mathrm{A}\left( t\right) +\int _{0}^{t}\mathrm{g}\left( u\right) \, \mathrm{B}\left( t-u\right) \, du$$
4. Résoudre complètement l'équation différentielle $\left( E\right)$ dans le cas où $g\left( t\right) =\exp \left( -t\right)$. En appliquant la formule précédente, on obtient :
   

   $$f\left( t\right) = 5\, \exp \left( -2\, t\right) -3\, \exp \left( -3\, t\right) +\in... ... \exp \left( -2\, t+2\, u\right) -\exp \left( -3\, t+3\, u\right) \right) \, du$$

   $$= 5\, \exp \left( -2\, t\right) -3\, \exp \left( -3\, t\right) +\ex... ...ght) \int _{0}^{t}e^{u}\, du-\exp \left( -3\, t\right) \int _{0}^{t}e^{2u}\, du$$

   $$= \frac{1}{2}\, \exp \left( -t\right) +4\, \exp \left( -2\, t\right) -\frac{5}{2}\, \exp \left( -3\, t\right)$$

   
   

5. Vérifier le résultat obtenu.
   1. On commence par vérifier que $f\left( 0\right) =2,\; f'\left( 0\right) =-1$. Il vient $\frac{1}{2}+4-\frac{5}{2}=2$ et $\frac{1}{2}\left( -1\right) +4\left( -2\right) -\frac{5}{2}\left( -3\right) =-1$.
   2. Puis, on reporte dans $\frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 }}f\left( t\right) +5\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, t ^{ }}f\left( t\right) +6\, f\left( t\right)$. On trouve
      $$\frac{1}{2}\left( 1-5+6\right) \frac{1}{2}\, \exp \left( -t\right... ...rac{1}{2}\left( 9-15+6\right) \exp \left( -3\, t\right) =\exp \left( -t\right)$$

4 Transformation inverse

1. A partir de maintenant, la fonction $g$ est la fonction périodique, de période $T=3$, qui coïncide avec $\psi$ sur l'intervalle $\left[ 0,\, 3\right]$. Croquis. Image Laplace.
   1. Appelons $\tau$ la fonction $\tau \left( t\right) =t-3\, \mathrm{E}\left( \frac{1}{3}\, t\right)$, la fonction $\mathrm{E}$ désignant la partie entière. Alors $g\left( t\right) =\mathrm{H}\left( t \right) \times \left( \psi \circ \tau \right) \left( t\right)$.
   2. Réciproquement, $\psi \left( t\right) =g\left( t\right) -g\left( t-T\right)$. Cette formule est évidente pour $T<t$ et pour $0<t$, intervalles pour lesquels $\psi \left( t\right) =0$. Pour l'intervalle $0<t<T$, la validité de la formule vient de $g\left( t-T\right) =0$.

      Figure: La fonction $g$ est la périodisée de $\psi$.

      

   3. Par la formule des retards et la linéarité, il vient (formule du cours) :
      $${\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =\frac{{\cal L}\left( \psi \right) \left( p\right) }{1-\exp \left( -3\, p\right) }$$

   4. A l'origine, la fonction ${\cal L}\left( g\right)$ est singulière. Un développement limité donne :
      $$\displaystyle {\cal L}\left( g \right) \left( p\right) =\frac{2}{... ...frac{5}{9}+\frac{1}{18}\, p-\frac{4}{45}\, p^{2}+\mathrm{O}\left( p^{3}\right)$$

   5. Le terme principal $-\frac{1}{4}p^{-1}$ de ce développement peut se retrouver par la formule :
      $$\lim _{p\rightarrow 0}p\times {\cal L}\left( g \right) \left( p\r... ... _{t\rightarrow \infty }\frac{1}{t}\int _{0}^{t}g\left( u\right) \, \mathrm{d}u$$
      En effet :
      $$\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\frac{1}{t}\int _{0}^{t... ...mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int _{0}^{T}\left( 2-t\right) \, \mathrm{d}t=\frac{2}{3}$$

2. On définit la fonction auxiliaire $\varphi$ par ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) ={\cal L}\left( f \right) \left( p\right) \times \left( 1-\exp \left( -3\, p\right) \right)$. Utiliser (2.3) pour exprimer ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right)$ sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles. L'équation (2) conduit immédiatement à :

   $$\displaystyle {\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right) =\fr... ...\right) \, \exp \left( -3\, p\right) }{\left( p+3\right) \, \left( p+2\right) }$$ (3)

   
   

3. Déterminer $\varphi _{2}\left( t\right)$ et $\varphi _{3}\left( t\right)$ telles que ${\cal L}\left( \varphi _{2} \right) \left( p\right) =\frac{1}{p^{2}\left( p+2\right) \left( p+3\right) }$ et ${\cal L}\left( \varphi _{3} \right) \left( p\right) =$ $-\frac{2\, p+9}{\left( p+2\right) \left( p+3\right) }$.
   1. Comme il se doit, les fonctions $\varphi _{2}$ et $\varphi _{3}$ sont les coefficients intervenant dans la décomposition de ${\cal L}\left( \varphi \right) \left( p\right)$.
   2. On décompose la première fraction en éléments simples :
      $$F\left( p\right) ={\cal L}\left( \varphi _{2} \right) \left( p\ri... ...+3}+\frac{1}{4}\frac{1}{p+2}+\frac{1}{6}\frac{1}{p^{2}}-\frac{5}{36}\frac{1}{p}$$
      Le coefficient de $\frac{1}{p+3}$ vient de la limite de $\left( p+3\right) \times F\left( p\right)$ pour $p\rightarrow -3$. De même pour le suivant. Le coefficient de $\frac{1}{p^{2}}$ vient de la limite de $p^{2}\times F\left( p\right)$ pour $p\rightarrow 0$. Le dernier coefficient vient de ce que la somme des résidus est nulle puisque $\lim _{\infty }p\, F\left( p\right) =0$.
   3. Les deux derniers termes sont des images-Laplace connues. Les deux autres s'interprètent par la formule des translations, et on trouve :
      $$\varphi _{2}\left( t\right) =\frac{1}{6}\, t-\frac{5}{36}+\frac{1}{4}\, \exp \left( -2\, t\right) -\frac{1}{9}\, \exp \left( -3\, t\right)$$

   4. De même, on décompose $\frac{-2\, p-9}{\left( p+2\right) \, \left( p+3\right) }=-5\frac{1}{p+2}+3\frac{1}{p+3}$ et on obtient :
      $$\varphi _{3}\left( t\right) =-5\, \exp \left( -2\, t\right) +3\, \exp \left( -3\, t\right)$$

4. On donne ${\cal L}\left( \varphi _{1} \right) \left( p\right) =\frac{\left( 2\, p+1\right) \left( p^{2}+4\, p-1\right) }{p^{2}\left( p+2\right) \left( p+3\right) }$ lorsque $\varphi _{1}\left( t\right) =-\frac{1}{6}t+\frac{17}{36}+\frac{15}{4}\exp \left( -2\, t\right) -\frac{20}{9}\exp \left( -3\, t\right)$. En déduire la valeur de la fonction $\varphi$.
   1. La fonction $\varphi _{1}$ intervient directement dans la fonction $\varphi$, tandis que les fonctions $\varphi _{2}$ et $\varphi _{3}$ doivent être transformées par la formule des retards pour tenir compte des exponentielles figurant EQ. 3.
   2. On obtient la formule ci-dessous. Comme il se doit, chaque terme contient un facteur de Heaviside :
      $$\varphi \left( t\right) =\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \... ...eft( -2\, t+6\right) +3\exp \left( -3\, t+9\right) \right) \end{array}\right.$$

   3. La fonction $f$ est donc la périodisée de $\varphi$, c'est à dire
      $$f\left( t\right) =\sum ^{\infty }_{k=0}\varphi \left( t-k\, T\right)$$
      Il convient de remarquer que le support de $\varphi$ est $\left[ 0,\, \infty \right]$ et non pas $\left[ 0,\, T\right]$. En effet la fonction $f$ n'est pas périodique et donc le support de $\varphi$ ne se limite pas à une période. On se reportera à la FIG. 4.

      Figure: La fonction $\varphi$ (à gauche) et sa "périodisée" $f$ (à droite).

   4. Un peu de calcul montre que :
      
      

      $t$	$side$	$\varphi \left( t\right)$	$\varphi '\left( t\right)$	$\varphi ''\left( t\right)$
      $0$	$right$	$2.0000000$	$-1.0000000$	$-5.0000000$
      $2$	$left$	$.2020642$	$-.2875089$	$.2251595$
      $2$	$right$	$.2020642$	$-.2875089$	$.2251595$
      $3$	$left$	$.0373230$	$-.0688399$	$.1202613$
      $3$	$right$	$-1.9626770$	$.9311601$	$7.1202613$

      
      
      On constate que la fonction $\varphi$ est de classe ${\cal C}^{2}$ dans l'intervalle $\left] 0,\, T\right[$ comme il convient pour une solution d'équation différentielle à coefficients continus. La continuité de la deuxième dérivée vient de la continuité de $g$ en $t=2$.
      Le fait que $\varphi$ soit discontinue en $t=T$ n'est pas un problème, puisque c'est $f$ la solution de l'équation différentielle. Au voisinage de $t=T$, la fonction $f$ s'écrit $f\left( t\right) =\varphi \left( t\right) +\varphi \left( t-T\right)$, et on vérifie que $f$ et $f'$ sont continues (tandis que $f''$ fait un saut égal à celui de $g$).
5. Montrer que $f$ admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique $\gamma$ telle que $\left\vert f\left( t\right) -\gamma \left( t\right) \right\vert \rightarrow 0$ lorsque $t\rightarrow \infty$. Écrire les équations permettant de déterminer $\gamma$.
   1. Considérons l'équation différentielle affine :
      $$\frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 }}\zeta \left( t\right)... ... 0\right) =\zeta \left( T\right) ,\; f'\left( 0\right) =\zeta '\left( T\right)$$
      Il ne s'agit plus d'un problème de Cauchy (équation différentielle avec condition initiale), mais d'un problème plus général. Supposons pour l'instant que ce problème admette une solution. Appellons $\gamma$ cette solution, et posons $\alpha \doteq \gamma \left( 0\right)$ et $\beta \doteq \gamma '\left( 0\right)$. Enfin, appelons $\eta$ la solution de l'équation différentielle linéaire :
      $$\frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 }}\eta \left( t\right) ... ...ght) =0,\; \eta \left( 0\right) =-\alpha +2,\; \eta '\left( 0\right) =-\beta -1$$

   2. Alors $f=\zeta +\eta$ par unicité de la solution de EQ. 1 (Cauchy). En outre $\eta \left( t\right)$ est combinaison linéaire des fonctions $\exp \left( -2\, t\right)$ et $\exp \left( -3\, t\right)$ qui constituent une base de l'espace des solutions de l'équation linéaire. Il est donc clair que $\eta \left( t\right)$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers l'infini. Enfin $\zeta$ est périodique puisque l'équation définissant $\zeta$ est invariante par la transformation $t\mapsto t-T$.
   3. Il reste à montrer l'existence de $\gamma$. Procédons par conditions nécessaires et suffisantes. Considérons pour l'instant $\alpha$ et $\beta$ comme deux paramètres et résolvons :
      $$\frac{\mathrm{d}^{2 }}{\mathrm{d}\, t ^{2 }}\zeta \left( t\right)... ...\left( t\right) ,\; \zeta \left( 0\right) =\alpha ,\; f'\left( 0\right) =\beta$$
      La formule de convolution obtenue précédemment conduit à :
      $$\displaystyle \gamma \left( t\right) =\left\{ \begin{array}{l} \l... ...ght) -\exp \left( 3\, u-3\, t\right) \right) \, \mathrm{d}u \end{array}\right.$$
      Pour que $\gamma$ puisse être périodique, il est nécessaire que $\gamma \left( T\right) =\alpha$ et $\gamma '\left( T\right) =\beta$. On obtient un système ayant une solution et une seule, à savoir :
      $$\alpha =.02537517328,\qquad \beta =-.04531376456$$

   4. Réciproquement, si $\gamma$ est définie par cette condition initiale, alors $\gamma \left( T\right) =\gamma \left( 0\right)$ et $\gamma '\left( T\right) =\gamma '\left( 0\right)$. Comme la fonction excitatrice est périodique de période $T$, on en déduit que $\gamma$ est périodique à son tour : il y a bien existence et unicité de la solution périodique. On obtient la décomposition de $\gamma \left( t\right)$ en  :
      $$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} -.16666667\, t+.47222222-... ...t) -44.05308031\, \exp \left( -3\, t\right) & 2\leq t\leq 3 \end{array}\right.$$

   5. Quelques calculs complémentaires conduisent à la partie évanescente de la réponse, qui est :
      $$\eta \left( t\right) =4.969188245\, \exp \left( -2.\, t\right) -2.994563417\, \exp \left( -3.\, t\right)$$