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Ensait - E2 - Transformation de Laplace

Date: corrigé du DS du 27/05/2003 - durée 2h00

Algorithme de Bezout

1. Poser les calculs du calcul des coefficients de Bezout associés aux nombres $a=273$ et $b=180$. Détailler l'une des étapes du calcul. Décrire les résultats obtenus.
   1. Le calcul des coefficients de Bezout se fait par itération de l'algorithme d'Euclide. A chaque étape, on calcule le quotient entier ($q$) des deux nombres $a, b$ puis on remplace le couple $\left(a, b\right)$ par le couple $\left(b, a-b q\right)$. L'algorithme s'arrête lorsque $b$ devient nul.
   2. Cet algorithme fait agir des matrices $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & -q\end{array}\right)$ sur des colonnes $\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right)$. On obtient le tableau ci-dessous :
      
      

      $$	$$	$273$	$1$	0
      $$	$$	$180$	0	$1$
      0	$1$	$180$	0	$1$
      $1$	$-1$	$93$	$1$	$-1$
      0	$1$	$93$	$1$	$-1$
      $1$	$-1$	$87$	$-1$	$2$
      0	$1$	$87$	$-1$	$2$
      $1$	$-1$	$6$	$2$	$-3$
      0	$1$	$6$	$2$	$-3$
      $1$	$-14$	$3$	$-29$	$44$
      0	$1$	$3$	$-29$	$44$
      $1$	$-2$	0	$60$	$-91$

      
      
   3. On vérifie que les déterminants restent égaux à $\pm 1$. Ainsi $2\times 44-\left(-29\right)\times \left(-3\right)=1$.
   4. Les coefficients de Bezout sont $-29$ et $+44$, tandis que $3$ est le pgcd de $273$ et $180$. On vérifie que :
      $$273\times \left(-29\right)+180\times \left(+44\right)=3$$

   5. Enfin les nombres $91$ et $60$ vérifient $\frac{273}{180}=\frac{91}{60}$, cette dernière fraction étant irréductible.
2. Même question avec les polynômes $x^{3}+8$ et $x^{2}-2x-8$.
   1. En utilisant la division euclidienne des polynômes, on obtient :
      
      

      $$	$$	$x^{3}+8$	$1$	0
      $$	$$	$x^{2}-2 x-8$	0	$1$
      0	$1$	$x^{2}-2 x-8$	0	$1$
      $1$	$-x-1$	$12 x+24$	$1$	$-x-2$
      0	$1$	$12\left(x+2\right)$	$1$	$-x-2$
      $1$	$\frac{1}{12}\left(-x+4\right)$	0	$\frac{1}{12}\left(-x+4\right)$	$\frac{1}{12}\left(x^{2}-2 x+4\right)$

      
      
      
   2. Plus que jamais, on vérifie à chaque étape que les déterminants restent égaux à $\pm 1$.
   3. Les coefficients de Bezout sont $+1$ et $-\left(x+2\right)$, tandis que $12\left(x+2\right)$ est un pgcd de $x^{3}+8$ et $x^{2}-2 x-8$. On vérifie que :
      $$\left(x^{3}+8\right)\times \left(+1\right)+\left(x^{2}-2 x-8\right)\times \left(-x-2\right)=12\left(x+2\right)$$

   4. Enfin les polynômes $\frac{1}{7}\left(x^{2}-2 x+4\right)$ et $\frac{1}{12}\left(x-4\right)$ vérifient $\frac{a}{b}=\frac{x^{2}-2 x+4}{x-4}$, cette dernière fraction étant irréductible.

Transformée directe

1. On considère la fonction $\psi$ définie par $\psi \left(t\right)=0$ pour $t<0$, $\psi \left(t\right)=1-t$ pour $0<t<2$ et $\psi \left(t\right)=0$ pour $t>2$. Faire un croquis. Exprimer $\psi$ à l'aide de la fonction de Heaviside. Calculer la transformée de Laplace $\mathcal{L}\left(\psi \right)\left(p\right)$ de la fonction $\psi$.
   1. La fonction caractéristique de l'intervalle $\left[0, 2\right]$ est $\mathrm{H}\left(t\right)-\mathrm{H}\left(t-2\right)$. En multipliant par la valeur voulue sur cet intervalle, on obtient :
      $$\psi \left(t\right)=\left(1-t\right) \mathrm{H}\left(t\right)+\left(t-1\right) \mathrm{H}\left(t-2\right)$$

   2. On rappelle que ${\displaystyle \mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)=\int _{0}^{\infty }\mathrm{f}\left(t\right) \exp \left(-t p\right) dt}$. Les formules usuelles donnent directement $\mathcal{L}\left(\left(t+1\right) \mathrm{H}\left(t\right)\right)\left(p\right)=\frac{p+1}{p^{2}}$ et $\mathcal{L}\left(\left(1-t\right) \mathrm{H}\left(t\right)\right)\left(p\right)=\frac{p-1}{p^{2}}$. La formule des retards permet de conclure que :
      $$\mathcal{L}\left(\psi \right)\left(p\right)=\frac{p-1}{p^{2}}+\frac{p+1}{p^{2}} \exp \left(-2 p\right)$$

   3. La FIG. 1 donne, à gauche, le graphe de $\psi$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

   Figure 1: La fonction $\psi$ et son image Laplace.

2. Soit $h$ définie par $h\left(t\right)=\psi \left(t\right)+\psi \left(t-4\right)+\psi \left(t-8\right)$. Croquis. Image Laplace.
   1. La formule des retards donne :
      $$\mathcal{L}\left(h\right)\left(p\right)=\mathcal{L}\left(\psi \ri... ...p\right)\times \left(1+\exp \left(-4 p\right)+\exp \left(-8 p\right)\right)$$

   2. La FIG. 2 donne, à gauche, le graphe de $h$ et, à droite, le graphe de son image-Laplace.

      Figure 2: La fonction $h$ et son image Laplace.

   3. On peut vérifier, pour $\psi$ et pour $h$, que $\mathcal{L}\left(f\right)\left(0\right)=\int _{0}^{+\infty }f\left(t\right) \mathrm{d}t=0$.
3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :

   $$\left(E\right) : \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}f\l... ...4 f\left(t\right)=g\left(t\right),\; f\left(0\right)=1,\; f'\left(0\right)=-1$$ (1)

   
   
   1. On sait que $\mathcal{L}\left(\frac{\mathrm{d}^{}}{\mathrm{d} t^{}}f\left(t\right)\right)\left(p\right)=p\times \mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)-f\left(0\right)$.
   2. L'image-Laplace de l'équation donnée est donc :
      $$\left(p \left(p \mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)-1\rig... ...\mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)=\mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)$$

Convolutions

1. Mettre la valeur de $\mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)$ trouvée en (2.3) sous la forme $\mathcal{L}\left(A\right)\left(p\right)+\mathcal{L}\left(B\right)\left(p\right)\times \mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)$. L'équation précédente se réécrit :

   $$\mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)=\frac{1}{p+1}+\frac{1}{\left(p+1\right) \left(p+4\right)}\mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)$$ (2)

   
   

2. Déterminer les fonctions $A$ et $B$ correspondantes.
   1. Par définition, $\mathcal{L}\left(A\right)\left(p\right)=\frac{1}{p+1}$ et $\mathcal{L}\left(B\right)\left(p\right)=\frac{1}{\left(p+1\right) \left(p+4\right)}$.
   2. On a donc :
      $$A\left(t\right)=\exp \left(-t\right)$$

   3. Une décomposition en éléments simples de $\mathcal{L}\left(B\right)\left(p\right)$ donne $\frac{1}{\left(p+1\right) \left(p+4\right)}=\frac{+1/3}{p+1}+\frac{-1/3}{p+4}$ et donc :
      $$B\left(t\right)=\frac{1}{3} \exp \left(-t\right)-\frac{1}{3} \exp \left(-4 t\right)$$

3. En déduire la valeur de la fonction $f$ (utilisant une convolution).
   1. On sait que la transformation de Laplace est linéaire et que le produit de deux images-Laplace est l'image-Laplace de la convolution des deux fonctions.
   2. On a donc ${\displaystyle f\left(t\right)=\mathrm{A}\left(t\right)+\int _{0}^{t}\mathrm{g}\left(u\right) \mathrm{B}\left(t-u\right) du}$
4. Résoudre complètement l'équation différentielle $\left(E\right)$ dans le cas où $g\left(t\right)=\exp \left(-t\right)$. En appliquant la formule précédente, on obtient :
   

   $$f\left(t\right) = \exp \left(-t\right)+\int _{0}^{t}\exp \left(-u\right) \left(\f... ...\exp \left(-t+u\right)-\frac{1}{3} \exp \left(-4 t+4 u\right)\right) du$$

   $$= \exp \left(-t\right)+\frac{1}{3} \exp \left(-t\right)\int _{0}^{t} du-\frac{1}{3} \exp \left(-4 t\right)\int _{0}^{t}e^{3u} du$$

   $$= \exp \left(-t\right)+\frac{1}{3} t \exp \left(-t\right)-\frac{1}{9} \exp \left(-t\right)+\frac{1}{9} \exp \left(-4 t\right)$$

   
   

5. Vérifier le résultat obtenu.
   1. On commence par vérifier les conditions initiales.
   2. Puis, on reporte les dérivées (qui existent sans discussion) dans l'équation.

Transformation inverse

1. A partir de maintenant, la fonction $g$ est la fonction périodique, de période $T=4$, qui coïncide avec $\psi$ sur l'intervalle $\left[0, 4\right]$. Croquis. Image Laplace.
   1. Appelons $\tau$ la fonction $\tau \left(t\right)=t-4 \mathrm{E}\left(\frac{1}{4} t\right)$, la fonction $\mathrm{E}$ désignant la partie entière. Alors $g\left(t\right)=\mathrm{H}\left(t\right)\times \left(\psi \circ \tau \right)\left(t\right)$.
   2. Réciproquement, $\psi \left(t\right)=g\left(t\right)-g\left(t-T\right)$. Cette formule est évidente pour $T<t$ et pour $0<t$, intervalles pour lesquels $\psi \left(t\right)=0$. Pour l'intervalle $0<t<T$, la validité de la formule vient de $g\left(t-T\right)=0$.

      Figure: La fonction $g$ est la périodisée de $\psi$.

      

   3. Par la formule des retards et la linéarité, il vient (formule du cours) :
      $$\mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)=\frac{\mathcal{L}\left(\psi \right)\left(p\right)}{1-\exp \left(-4 p\right)}$$

   4. A l'origine, la fonction $\mathcal{L}\left(g\right)$ est régulière. Un développement limité donne :
      $$\mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6} p-\frac{1}{90} p^{2}+\mathrm{O}\left(p^{3}\right)$$

   5. L'absence de termes en $p^{-1}$ dans ce développement vient de la formule $\lim _{p\rightarrow 0}p\times \mathcal{L}\left(g\right)\left(p\right)=\lim _{t\rightarrow \infty }\frac{1}{t}\int _{0}^{t}g\left(u\right) \mathrm{d}u$ et du fait que $g$ est de moyenne nulle sur $\left[0, \infty \right]$ puisque la moyenne sur une période est nulle.
2. On définit la fonction auxiliaire $\varphi$ par $\mathcal{L}\left(\varphi \right)\left(p\right)=\mathcal{L}\left(f\right)\left(p\right)\times \left(1-\exp \left(-4 p\right)\right)$. Utiliser (2.3) pour exprimer $\mathcal{L}\left(\varphi \right)\left(p\right)$ sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles. L'équation (2) conduit immédiatement à :

   $$\mathcal{L}\left(\varphi \right)\left(p\right)=\frac{p^{3}+4 p^... ...t(-2 p\right)}{p^{2} \left(p+4\right)}-\frac{\exp \left(-4 p\right)}{p+1}$$ (3)

   
   

3. Déterminer $\varphi _{1}\left(t\right)$ telle que $\mathcal{L}\left(\varphi _{1}\right)\left(p\right)={\displaystyle \frac{p^{3}+4 p^{2}+p-1}{p^{2}\left(p+1\right)\left(p+4\right)}}$.
   1. On décompose en éléments simples. Le coefficient de $1/p^{2}$ s'obtient par évaluation en $p=0$. De même les résidus en $p=-1$ et $p=-4$. On termine par une évaluation en $p=\infty$ : la somme des résidus vaut 1 puisque $\mathcal{L}\left(\psi \right)\approx \frac{1}{p}$.
      $$\mathcal{L}\left(\varphi _{1}\right)\left(p\right)=\frac{-1}{4} ... ...c{9}{16} \frac{1}{p}+\frac{1}{3} \frac{1}{p+1}+\frac{5}{48} \frac{1}{p+4}$$

   2. On voit alors que :
      $$\varphi _{1}\left(t\right)=-\frac{1}{4} t+\frac{9}{16}+\frac{1}{3} \exp \left(-t\right)+\frac{5}{48} \exp \left(-4 t\right)$$

4. En déduire la valeur de la fonction $\varphi$.
   1. On a $\mathcal{L}\left(\varphi _{2}\right)\left(p\right)=-\frac{1}{p+1}$ quand $\varphi _{2}\left(t\right)=-\exp \left(-t\right)$.
   2. De même $\mathcal{L}\left(\varphi _{3}\right)\left(p\right)=\frac{1}{p^{2} \left(p+4\right)}$ quand $\varphi _{3}\left(t\right)=\frac{1}{4} t-\frac{1}{16}+\frac{1}{16} \exp \left(-4 t\right)$.
   3. La fonction $\varphi _{1}$ intervient directement dans la fonction $\varphi$, tandis que les fonctions $\varphi _{2}$ et $\varphi _{3}$ doivent être transformées par la formule des retards pour tenir compte des exponentielles figurant EQ. 3.
   4. On obtient la formule ci-dessous. Comme il se doit, chaque terme contient un facteur de Heaviside :
      $$\varphi \left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \ma... ...thrm{H}\left(t-4\right) \left(\exp \left(-t+4\right)\right)\end{array}\right.$$

   5. La fonction $f$ est donc la périodisée de $\varphi$, c'est à dire
      $$f\left(t\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\varphi \left(t-k T\right)$$
      Il convient de remarquer que le support de $\varphi$ est $\left[0, \infty \right]$ et non pas $\left[0, T\right]$. En effet la fonction $f$ n'est pas périodique et donc le support de $\varphi$ ne se limite pas à une période. On se reportera à la FIG. 4.

      Figure: La fonction $\varphi$ (à gauche) et sa "périodisée" $f$ (à droite).

   6. Un peu de calcul permet de vérifier que les raccords se passent convenablement pour $f$ et pour $f'$ : on obtient donc une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, qui est dérivable une deuxième fois en tout point où la fonction $g$ est continue.
5. Montrer que $f$ admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique $\gamma$ telle que $\left\vert f\left(t\right)-\gamma \left(t\right)\right\vert\rightarrow 0$ lorsque $t\rightarrow \infty$. Écrire les équations permettant de déterminer $\gamma$. Il existe une et une seule condition initiale conduisant à une solution périodique $\gamma$. La différence $f\left(t\right)-\gamma \left(t\right)$ est une solution de l'équation différentielle linéaire associée. Elle s'écrit donc $A \exp \left(-t\right)+B \exp \left(-4 t\right)$... et tend vers 0 quand $t\rightarrow \infty$.