Ensait - E1 - Maths. Assistées par Ordinateur

Évaluation du 04/12/2002 - durée 2h00

tous documents autorisés

Descriptif du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents). En particulier, les feuilles de calculs réalisées en binôme lors des TP précédents devront avoir été dupliquées dans les répertoires personnels des étudiants concernés.
2. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Les "choses" illisibles ne seront pas lues.
3. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
4. Il va de soi que tous les problèmes de compte informatique (mots de passe, comptes périmés ou autres problèmes) devront avoir été résolus largement avant l'évaluation.

1 Graphique

1. On considère les paraboles ayant pour équations et . Tracer ces deux paraboles sur un même graphique, l'une en bleu, l'autre en rouge. Choisir la fenêtre d'affichage pour faire apparaître les points d'intersection.
2. Détermination graphique des coordonnées de ces points d'intersection.
3. Résoudre . Vérifier.

.../...

2 Développements limités

1. Déterminer les constantes pour que les développements limités, au voisinage de , de et de coincident le plus longtemps possible. On pourra poser
   
   $$pade\left( x\right) =\cos x-\frac{1+a\, x^{2}+b\, x^{4}}{1+c\, x^{2}+d\, x^{4}}$$
   
   

3 Algorithme de Newton

1. On considère le polynôme . Le fait que suggère que l'une des racines de est proche de . On pose donc . Procéder à itérations de à partir de .
2. Décrire ce qui se passe, et en particulier le nombre de décimales stabilisées à chaque étape (choisir Digits assez grand... et prévoir de sauvegarder !).
3. Expliquer le phénomène constaté.

4 Géométrie complexe

1. On se donne les points et du plan complexe. Tracer le réseau des arcs capables des angles relatifs à ces deux points.
2. Tracer le réseau des cercles de Poncelet relatifs à ces deux points.
3. Que peut-on remarquer ?

5 Valeurs propres, vecteurs propres

Soit la matrice . On signale que les valeurs propres sont distinctes, et que trois d'entre elles ont à peu près le même module.

1. Déterminer, par la méthode des itérations, la valeur propre de plus petit module, ainsi qu'un vecteur propre associé.
2. En appliquant la méthode des itérations à des matrices bien choisies, déterminer les autres valeurs propres de , ainsi que les vecteurs propres associés.
3. Vérification : construire la matrice de passage associée aux vecteurs propres obtenus, et s'en servir.