Ensait - A3 - Recherche Opérationnelle

Date: Corrigé du DS du 13/12/2002 (durée 2h00)

1 Le sujet : optimisation d'une production

Une usine textile fabrique deux types de produits pour lesquels elle utilise trois sortes de matière première : coton, lin et viscose. Le tableau ci-dessous résume les données du problème.

	coton	lin	viscose	bénéfice
tissu A	4	2	18	65 F
tissu B	16	2	12	115 F
stock	384	80	930

Pour fabriquer une pièce de tissu A, le tisserand utilise 4 palettes de coton, 2 palettes de lin et 18 palettes de viscose. Une pièce de ce tissu lui rapporte alors un bénéfice de 65 F. Le tableau se lit de manière analogue pour le tissu B.

1. Déterminer la fabrication optimale de l'entreprise.
2. Avant que la production déterminée en 1) ne soit lancée, une opportunité se présente d'acheter un complément de 40 palettes de lin. Quel est le prix maximal acceptable pour cet achat complémentaire ?

2 Corrigé de la première partie

1. Appelons $x_{1}$ la production de tissu A et $x_{2}$ celle de tissu B. Les contraintes issues des stocks sont
   

   $$4\, x_{1}+16\, x_{2} \leq 384$$

   $$2\, x_{1}+2\, x_{2} \leq \, 80$$

   $$18\, x_{1}+12\, x_{2} \leq 930$$

   
   
   et la fonction de bénéfice est $z=65\, x_{1}+115\, x_{2}$
2. La mise en équation consiste à introduire des variables positives supplémentaires (de façon à transformer les inéquations en équations. On obtient :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{3} & = & 384-4\, x_{1}-16\, x_{2}\\ ... ...& 930-18\, x_{1}-12\, x_{2} \end{array}\right\} \qquad z=65\, x_{1}+115\, x_{2}$$

3. La solution $x_{1}=x_{2}=0$ est acceptable et décrit donc un sommet du simplexe. Il reste à optimiser à partir de là. Choisissons de déplacer la variable $x_{2}$ qui intervient positivement dans la fonction de bénéfice. On constate que la contrainte la plus forte est celle exercée par $x_{3}$, qui devient donc une variable principale (à côté de $x_{1}$ qui ne change pas de statut). Le système se réécrit alors :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{2} & = & 24-\frac{1}{4}\, x_{1}-\fra... ... \end{array}\right\} \qquad z=2760+\frac{145}{4}\, x_{1}-\frac{115}{16}\, x_{3}$$

4. Désormais, la variable $x_{1}$ est la seule à intervenir positivement dans le bénéfice ; c'est cette variable qu'il faut augmenter. On constate que la contrainte la plus forte est exercée par $x_{4}$, qui devient donc une variable principale (à côté de $x_{3}$ qui ne change pas de statut). Le système se réécrit alors :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{1} & = & \frac{64}{3}+\frac{1}{12}\,... ...ay}\right\} \qquad z=\frac{10600}{3}-\frac{25}{6}\, x_{3}-\frac{145}{6}\, x_{4}$$

5. Comme les coefficients de la fonction bénéfice sont tous négatifs, nous sommes en un point de maximum. La décision cherchée est donc $x_{1}=64/3=21.33$ pièces de produit A et $x_{2}=56/3=18.67$ pièces de produit B.
6. Cette décision correspond à une production qui épuisera les stocks de coton et de lin et laissera un stock de viscose égal à $322$.
7. Faut-il ou non exprimer $x_{1}$ et $x_{2}$ en nombres entiers ?

3 Deuxième partie

1. En supposant que, avant le début de la production, on puisse se procurer $40$ palettes de lin supplémentaires, le système devient (les modifications sont en caractères gras) :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{3} & = & 384-4\, x_{1}-16\, x_{2}\\ ... ...& 930-18\, x_{1}-12\, x_{2} \end{array}\right\} \qquad z=65\, x_{1}+115\, x_{2}$$

2. En reprenant les calculs précédents, la première étape devient :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{2} & = & 24-\frac{1}{4}\, x_{1}-\fra... ... \end{array}\right\} \qquad z=2760+\frac{145}{4}\, x_{1}-\frac{115}{16}\, x_{3}$$

3. A nouveau, la variable $x_{1}$ est la variable à modifier. Mais maintenant, la variable exerçant la plus forte contrainte est $x_{5}$, et le système devient :
   $$\left. \begin{array}{ccc} x_{1} & = & \frac{214}{5}+\frac{1}{20}\... ...ray}\right\} \qquad z=\frac{8623}{2}-\frac{43}{8}\, x_{3}-\frac{29}{12}\, x_{5}$$

4. Comme les coefficients de la fonction bénéfice sont tous négatifs, nous sommes en un point de maximum. La décision cherchée est donc $x_{1}=214/5=42.8$ pièces de produit A (au lieu de $x_{1}=21.33$) et $x_{2}=133/10=13.3$ pièces de produit B (au lieu de $x_{2}=18.67$).
5. La nouvelle décision conduira à une production qui épuisera les stocks de coton et de viscose et laissera un stock de lin $x_{4}\approx 8$.
6. Le bénéfice prévisible à la suite de la deuxième commande est $z=4311$, tandis que le bénéfice prévisible à la suite de la première est $z=3533$. L'augmentation du benefice prévisible étant de $778$, il ne faut donc pas dépenser plus que cette somme pour acheter les $40$ palettes de lin complémentaires.

4 Commentaires

1. Au moment de la prise de décision, la fonction de bénéfice n'a pas le même statut que les fonctions de contraintes. En effet, les contraintes sont certaines, tandis qu'au moment de la prise de décision, la fonction de bénéfice est seulement décrite de façon probabiliste.
2. Un retour élémentaire sur la réalité industrielle conduit donc à penser qu'un achat complémentaire au prix de $700$ serait une décision contestable. Elle conduirait à mettre en oeuvre $56$ pièces de tissu au lieu de $40$ pièces pour un gain relatif de $80/3600\approx 2\%$. Dans un tel cas limite, la modélisation doit nécessairement tenir compte des risques industriels et commerciaux
3. Une étude des données montre que le prix (à la palette) du coton vérifie $x\in \left[ 4.167,\, 5.375\right]$, celui du lin $y=\left[ 0,\, 24.167\right]$ et celui de la viscose $z\in \left[ 0,\, 2.417\right]$. Le seuil d'achat étant $778/40\approx 19.45$ est effectivement compris dans la fourchette des possibilités.
4. Une meilleure modélisation permettrait de tenir compte du stock résiduel. En effet, la première décision laisse un stock d'une valeur $S_{1}\in \left[ 0,\, 778\right]$, tandis que la deuxième laisse un stock d'une valeur $S_{2}\in \left[ 0,\, 188\right]$.