1 Algèbre linéaire

1.1 Le signe $=$

1. Définition : identité. On appelle identité une règle de substitution toujours valable. Ainsi la règle :
   $$\forall a,\, b\quad :\, \sin a-\sin b=2\, \sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$$
   indique que le membre de gauche peut, en toutes circonstances, être remplacé par le membre de droite (règle de factorisation). L'échange des membres de gauche et de droite conduit à la substitution réciproque (règle de linéarisation).
2. Définition : affectation. En informatique, l'écriture $x:=2$ veut dire que, désormais, la lettre $x$ ne désigne plus une variable abstraite, mais le nombre $2$.
3. Définition : équation. On appelle équation une situation pour laquelle on se demande quelles sont les valeurs des lettres qui vérifient une relation particulière.
4. Définition. Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les solutions d'une équation.

1.2 Équations affines et matrices

1. Écriture matricielle. L'objectif est de réécrire une équation affine à plusieurs variables sous la forme $A\, X=B$ et de déterminer les situations où cette équation peut se réécrire en $X=A^{-1}\, B$, conduisant à une solution et une seule.
2. Définition : matrice. On réécrit un système tel que
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2\, x+3\, y & = & 8\\ 4\, x-y & = & 2\end{array}\right.$$
   sous la forme
   $$\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\\ 4 & -1\end{array}\right)\left(\... ...}{c} x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\end{array}\right)$$
   La matrice d'un système est donc le tableau rectangulaire des coefficients des inconnues.
3. Définition : produit matriciel. Le produit $M_{1}\, M_{2}$ de deux matrices (dans cet ordre) est défini lorsque les lignes de $M_{1}$ ont la même longueur que les colonnes de $M_{2}$. Cela revient à dire que le nombre des colonnes de $M_{1}$ est égal au nombre des lignes de $M_{2}$. En pareil cas, un élément du produit est le produit scalaire d'une ligne de $M_{1}$ par une colonne de $M_{2}$.
   exo 1.  Soient deux matrices, $A$ de taille $\left(m,\, n\right)$ et $B$ de taille $\left(p,\, q\right)$. A quelle condition a-t-on l'existence des deux produits $A\, B$ et $B\, A$ ? Et alors, quelle est la condition supplémentaire pour qu'ils aient mêmes dimensions ?
4. Méthode pratique. Il est recommandé de disposer le produit de deux matrices sous la forme :
   $$\begin{array}{cc} & \left(\begin{array}{cc} t\quad & \quad... ..., w\\ c\, t+d\, v & c\, u+d\, w\end{array}\right)\end{array}$$

5. Théorème. Le produit de matrices est associatif : les produits $\left(A\, B\right)C$ et $A\left(B\, C\right)$ existent en même temps et alors sont égaux.
6. Théorème. Si l'on se limite aux matrices carrées d'une taille donnée, et si l'on définit l'addition case par case, les règles algébriques usuelles continuent d'être valable, à l'exception du fait que la multiplication n'est plus commutative.
   exo 2.  Vérifier que la matrice nulle est neutre pour l'addition. Quelle est la matrice neutre pour la multiplication ? Quel sens donner à l'écriture $A+4$ ?
   exo 3.  Vérifier que $A^{2}-5\, A+6$ donne la matrice nulle dans les deux cas suivants :
   lorsque $A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 3\end{array}\right)$ ou lorsque $A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -6 & -5\end{array}\right)$.
   exo 4.  Déterminer toutes les matrices de taille $2\times 2$ telles que $A^{2}-5\, A+6=0$.

1.3 Déterminant $2\times 2$

1. Définition : $coA$ (matrice complémentaire). Pour une matrice carrée de taille $2$, on pose :
   $$co\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a\end{array}\right)$$

2. Définition : déterminant. Pour une matrice carrée de taille $2$, on pose :
   $$\det \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right)=a\, d-b\, c$$

3. Théorème. Pour toute matrice carrée, on a $M\, coM=coM\, M=\det M\, I$
   exo 5.  Vérifier en posant le calcul.
4. Théorème. Le déterminant détermine si une matrice est inversible.
5. Théorème. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est le produit des déterminants.
   exo 6.  Vérifier en posant le calcul. Puis retrouver la démonstration générale...

1.4 Déterminant $3\times 3$

1. Présentation. On considère le système suivant, à trois équations et trois inconnues :
   $$\left\{ \begin{array}{ccc} a\, x+b\, y+c\, z & = & u\\ d\, x+e\, y+f\, z & = & v\\ g\, x+h\, y+j\, z & = & w\end{array}\right.$$
   Si l'on avait $c=f=j=0$, ce serait un système à deux inconnues : on peut donc supposer que l'un des coefficients est non nul (dans ce qui suit, on suppose $c\neq 0$).
2. Par combinaisons linéaires, on obtient la condition nécessaire :
   $$\left\{ \begin{array}{ccc} \left(a\, f-d\, c\right)x+\left(b\, f-... ..., c-a\, j\right)x+\left(c\, h-b\, j\right)y & = & c\, v-j\, t\end{array}\right.$$
   et, par de nouvelles combinaisons linéaires, à :
   $$\left[\left(g\, c-a\, j\right)\left(b\, f-e\, c\right)-\left(a\, ... ...)\right]\, x=\left[\left(\right)\left(\right)-\left(\right)\left(\right)\right]$$

3. On constate que $c\neq 0$ se met en facteur, et on trouve :
   $$\left(aej+bfg+cdh-afh-bdj-ceg\right)x=\left(\mathbf{u}ej+bf\mathbf{w}+c\mathbf{v}h-\mathbf{u}fh-b\mathbf{v}j-ce\mathbf{w}\right)$$
   Ce résultat peut être mémorisé par la règle de Sarrus, et conduit à
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & ... ...t\begin{array}{ccc} u & b & c\\ v & e & f\\ w & h & j\end{array}\right\vert$$

4. Théorème (Cramer). La quantité $\Delta =\left(aej+bfg+cdh-afh-bdj-ceg\right)$ détermine les systèmes affines ayant une solution et une seule. Celle-ci est alors égale à
   $$x_{j}=\Delta _{j}\div \Delta ,\, \, \, j=1\cdots 3$$
   exo 7.  Le point clef est que chacun des trois calculs (pour chacune des indéterminées) conduit au même dénominateur. Vérifier que tel est bien le cas. exo 8.  Les calculs précédents établissent des conditions nécessaires. Vérifier qu'elles sont suffisantes. exo 9.  Vérifier que le déterminant d'un produit de matrices $3\times 3$ est bien encore le produit des déterminants.
5. Définition : cofacteur. Le cofacteur de $A_{jk}$ est le facteur de cet élément dans le développement du déterminant de $A$.
6. Définition : mineur. Le déterminant mineur associé à $A_{ij}$ est le déterminant plus petit obtenu en supprimant la ligne et la colonne de $A_{jk}$.
7. Théorème. Le cofacteur de $A_{jk}$ est égal au mineur associé, affecté du signe $+$ ou $-$ selon que l'élément occupe une place paire ($j+k$ pair) ou une place impaire ($j+k$ impair).
8. Définition : matrice complémentaire. Chaque ligne de la matrice $coA$ est formée des cofacteurs associés à une colonne de $A$.
9. Exemple. Soit $A=\left\vert\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 5 & 2 & 7\\ -1 & 2 & 2\end{array}\right\vert$. Alors la matrice complémentaire est :
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} \left\vert\begin{array}{cc} 2 & 7\\ ... ...{array}{ccc} -10 & 2 & 8\\ -17 & 5 & 8\\ 12 & -4 & -8\end{array}\right\vert$$

10. Théorème. On a $A\, coA=coA\, A=\det A\, I_{3}$ exo 10.  Les valeurs diagonales viennent de la définition même. Qu'en est-il pour les autres éléments ? exo 11.  Calcul d'inverses variés.

1.5 Le déterminant mesure le volume

1. En dimension $n=2$, il est facile de vérifier que
   

   $$\left\vert\begin{array}{cc} \overrightarrow{M_{1}} & \overrightarrow{M_{2}}\end{array}\right\vert^{2}+\left(M_{1},\, M_{2}\right)^{2} = \left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)^{2}+\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)^{2}$$

   $$= \left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\times \left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)$$

   
   
   Comme le produit scalaire est le produit des longueurs par le cosinus, le déterminant est le produit des longueurs par le sinus (par continuité, le signe reste constant et ne dépend que de l'orientation du repère).
2. On en déduit que le déterminant mesure la surface du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.
3. En dimension $n$, le déterminant mesure l'hyper-volume construit sur les $n$ vecteurs.
4. Théorème : changement de variable dans une intégrale. Le déterminant de la matrice jacobienne mesure la façon dont se transforme le volume élémentaire au dessus duquel on calcule l'intégrale.
5. Rappel $n=1$. On a :
   $$\int _{t=\phi \left(a\right)}^{t=\phi \left(b\right)}f\left(t\rig... ...left(f\circ \phi \right)\left(u\right)\times \phi '\left(u\right)\, \mathrm{d}u$$
   exo 12.  Vérifier que $\int _{t=1}^{t=9}t^{3}\, \mathrm{d}t=\frac{1}{4}\left(9^{4}-4^{4}\right)=1640$ et comparer avec $\int _{u=1}^{u=3}u^{6}\, 2u\, \mathrm{d}u=\frac{2}{7}\left(3^{7}-1^{7}\right)=1640$.
   exo 13.  Calculer $\int _{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{\left(b-x\right)\left(x-a\right)}}\, \mathrm{d}x$ par changement de variable.
6. Jacobien en polaire. On a les relations :
   $$\left\{ \begin{array}{ccc} x & = & \rho \, \cos \theta \\ y & =... ...ft(\begin{array}{c} d\rho \\ d\theta \end{array}\right)\quad ;\quad Jac=\rho$$
   exo 14.  Retrouver la formule du jacobien en coordonnées sphériques.
   exo 15.  On considère la pyramide définie par $x>0$, $y>0$, $z>0$, $1>x+y+z$. Vérifier que le changement de variables $u=x+y+z$, $v=\left(x+y\right)/\left(x+y+z\right)$ et $w=x/\left(x+y\right)$ transforme l'intérieur de la pyramide en l'intérieur d'un cube. Utiliser le jacobien de la transformation pour retrouver le volume de la pyramide.
7. Une intégrale de Gauss. L'existence de $I=\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\, \mathrm{d}x$ est assurée par convergence dominée. Et on obtient :
   

   $$I^{2} = \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\, d... ...)\, dy=\int _{\mathbb{R}^{2}}\exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)\, dx\, dy$$

   $$= \int _{\mathbb{R}^{2}}\exp \left(-\frac{\rho ^{2}}{2}\right)\rho ... ...\frac{\rho ^{2}}{2}\right)\, d\rho ^{2}\, \int _{-\pi }^{+\pi }\, d\theta =2\pi$$

   
   

1.6 Valeurs propres, vecteurs propres

1. Pour commencer, un "vecteur propre" est un vecteur non nul (ce qui importe, c'est sa direction).
2. Rappel. Un espace vectoriel est un ensemble sur lequel le mode d'opération "naturel" est les combinaisons linéaires.
3. Définition : application linéaire. C'est une application d'un espace vectoriel dans un autre qui est compatible avec les opérations (l'image d'une somme est la somme des images et, plus généralement, l'image d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images).
4. Définition. Si $\phi \, :\, E\hookrightarrow E$ est une application linéaire, on dit que le vecteur non nul $v$ est vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ lorsque $\phi \left(v\right)=\lambda \, v$.
5. Définition : équation caractéristique. Il y a équivalence entre "$v$ est vecteur propre" et $\left(\phi -\lambda \, id\right)\left(v\right)=0$ et donc équivalence avec
   $$\det \left(\phi -\lambda \, id\right)=0$$
   Le nom "caractéristique" vient de ce que cette équation est indépendante de la base choisie pour écrire les équations. En effet, on a $\hat{M}=P^{-1}\, M\, P$ et donc
   $$\det \left(\hat{M}-\lambda \right)=\det \left(P^{-1}\, M\, P-P^{-... ...det P^{-1}\, \det \left(M-\lambda \right)\, \det P=\det \left(M-\lambda \right)$$

1.6.1 Matrice de rotation $2\times 2$

1. On sait que les rotations de centre $O$ dans le plan euclidien ont pour matrice $M=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$.
2. Leur polynôme caractéristique est :
   $$\chi _{M}\left(\lambda \right)=\det \left(M-\lambda \right)=\lambda ^{2}-2\cos \theta \, \lambda +1$$

3. Les valeurs propres sont donc $\cos \theta \pm i\, \sin \theta =\exp \left(\pm i\, \theta \right)$. Un peu de calcul montre que les vecteurs propres sont $\left(\begin{array}{c} 1\\ \pm i\end{array}\right)$. Il n'est pas inutile de normaliser la matrice de passage qui s'écrit alors
   $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ +i & -i\end... ...}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & -i\\ 1 & +i\end{array}\right)$$

4. Et l'on voit que $P^{-1}\, M\, P$ est une matrice diagonale, dont les éléments sont les valeurs propres.

1.6.2 Matrice d'impédance

Figure 1: Un circuit.

1. Il est bien connu qu'un circuit éléctrique comme celui de la FIG. 1 peut être décrit "selon les branches" ou bien "selon les mailles". La première méthode est plus facile à automatiser (description composant par composant), tandis que la deuxième nécessite une identification préalable des "mailles indépendantes".
2. Une fois la liste des mailles établies, la mise en équation est aisée, et conduit à :
   $$\left(\begin{array}{c} E_{1}\\ E_{2}\\ E_{3}\end{array}\right... ...array}\right)\left(\begin{array}{c} i_{1}\\ i_{2}\\ i_{3}\end{array}\right)$$
   La matrice $m\times m$ intervenant dans cette équation (matrice d'impédance) a pour éléments diagonaux $Z_{jj}$ les résistances de maille (c'est à dire la somme de toutes les résistances appartenant à la maille $j$), tandis que les autres éléments $Z_{jk}$ sont les opposés des résistances de branche (les résistances communes aux mailles $j$ et $k$).
3. Une telle matrice est évidemment symétrique (et donc ses valeurs propres sont réelles). Comme de plus ces matrices sont à diagonale dominante, les valeurs propres sont positives.
4. Pour l'exemple donné, ... (à traiter en TD !)