2 Les nombres complexes comme action sur les points d'un plan

2.1 Multiplier un vecteur par un nombre

L'objectif de cette section est de rappeler le mode d'emploi d'un certain nombre de notions de géométrie. La question du bien fondé de ces notions "élémentaires" est une question tout à fait intéressante (et tout à fait difficile). Nous nous limiterons à faire remarquer que ces notions "ne peuvent pas être totalement infondées" car elles font partie, d'une manière ou d'une autre des réflexes acquis qui permettent la vie quotidienne.

1. L'un des grands progrès de la géométrie a consisté à "introduire des nombres" et à remplacer autant que possible les problèmes de géométrie par des problèmes (algèbre ou analyse) concernant les nombres.
2. En particulier, un repère cartésien $\left(O,\, \vec{u},\, \vec{v}\right)$ sert à décrire les points $M$ du plan par $M=O+x\, \vec{u}+y\, \vec{v}$. L'opération $\left(x,\, \vec{v}\right)\mapsto x\, \vec{v}$, pour $x$ nombre et $\vec{v}$ vecteur, est donc fondamentale.
3. On définit $n\, \vec{v}$, pour $n\in \mathbb{N}$ par le fait de mettre bout à bout $n$ vecteurs égaux à $\vec{v}$ . En particulier $0\, \vec{v}=\vec{0}$ et $1\, \vec{u}=\vec{u}$.
4. La multiplication par un entier négatif consiste à reporter les vecteurs dans le sens opposé, et l'on a donc $n\, \vec{v}+\left(-n\right)\, \vec{v}=\vec{0}$.
5. Multiplier un vecteur $\vec{v}$ par la fraction $\frac{n}{d}$ (avec $d>0$) consiste à calculer $n\left(\frac{1}{d}\vec{v}\right)$, tandis que diviser un vecteur par un entier (non-nul !) consiste à appliquer le théorème de Thalès : on construit le segment $\left[A;\, C\right]$ en reportant $d$ fois un segment issu lui aussi de $A$, mais situé sur une autre droite. Les droites parallèles à la droite $\left(BC\right)$ et passant par les subdivisions équidistantes de $\left[A,\, C\right]$ découpent le segment $\left[A,\, B\right]$ en segments égaux.

   Figure: Diviser un segment en 7 parties égales.

   

6. Le produit $\lambda \, \vec{v}$, pour $\lambda \in \mathbb{R}$ s'obtient en encadrant $\lambda$ par des rationnels de plus en plus proche et en passant à la limite sur les points obtenus.
7. Les produits $\lambda \, \vec{v}$ introduits jusqu'ici conservent la direction du vecteur (ou amènent ce vecteur sur $\vec{0}$). L'introduction des complexes permettra les changements de direction.
8. Encore une fois, ce qui précède est destiné à décrire ce qui se passe, et pas à en démontrer le bien-fondé.

2.2 Espace vectoriel, espace affine

1. On rappelle qu'un espace vectoriel est un ensemble pour lequel l'opération "naturelle" est la combinaison linéaire, donnant un vecteur $a\, \vec{v}+b\, \vec{w}$ à partir des deux vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
2. Un espace affine est un ensemble pour lequel l'opération "naturelle" est le barycentre (combinaisons linéaire dont la somme des masses vaut $1$), donnant un point $a\, M+b\, P$ à partir des deux points $M$ et $P$.
3. L'illustration la plus simple des espaces vectoriels est une droite passant par l'origine. Toutes les combinaisons linéaires restent sur la droite.
4. L'illustration la plus simple des espaces affines est une droite parallèle à la précédente. Si cette droite affine ne passe pas par l'origine, seules les combinaisons linéaires $a\, M+b\, P$ de masse totale $a+b=1$ restent sur la droite, les autres sortent de la droite, et viennent se placer sur une autre parallèle, dépendant de la valeur de $a+b$.
   exo 16.  Soient $M_{1}\, \cdots \, M_{n}$des points du plan et $a_{1}\, \cdots \, a_{n}$ des coefficients. Montrer que l'expression $\sum _{j}\, a_{j}\, M_{j}$ définit un objet intrinsèque (c'est à dire indépendant du repère) si et seulement si $\sum a_{j}=0$ (définissant un vecteur) ou $\sum a_{j}=1$ (définissant un point).

2.3 Conjugaison et module

1. On définit $i$ par $i\, \vec{v}$ est le vecteur obtenu en faisant pivoter $\vec{v}$ d'un quart de tour.
2. On a donc $i^{2}=-1$, parce que un quart de tour suivi d'un autre quart de tour, cela fait un demi-tour.
3. Définition : conjugaison. Si l'on regarde le plan "par en-dessous", l'orientation change et $i$ est remplacé par $-i$ : c'est la conjugaison, définie par $\overline{a+i\, b}=a-i\, b$ (pour $a,\, b\in \mathbb{R}$).
4. Théorème : conjugaison. On a $\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}$ et $\overline{z_{1}\times z_{2}}=\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}$. En effet, la conjugaison consiste à regarder le même spectacle, mais en se plaçant soit d'un côté du plan, soit de l'autre côté.
5. Définition. On pose $\Re z=x$ (partie réelle) et $\Im z=y$ (partie imaginaire). On remarquera que la partie imaginaire est un réel (c'est ennuyeux, mais c'est comme cela).
6. Formules. $\Re z=\frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right)$ et $\Im z=\frac{1}{2\, i}\left(z-\overline{z}\right)$.
7. Théorème de Pythagore. On a $OM^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(x+i\, y\right)\left(x-i\, y\right)=z\, \overline{z}$.
8. Définition : module. On pose $\left\vert z\right\vert=\sqrt{z\, \overline{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
   exo 17.  Calculer les modules de $3+4i$, $5+12i$, $2+i$, $56-33i$.
9. Propriétés : module. On a $\forall z\in \mathbb{C}\, :\; 0\leq \left\vert z\right\vert$ et $\left(z=0\right)\Leftrightarrow \left(\left\vert z\right\vert=0\right)$.
   exo 18.  Trouver $z$ tel que $\left\vert z+5\right\vert=\left\vert z-i\right\vert$.
   exo 19.  Montrer que, pour tous $z_{1},\, z_{2}\in \mathbb{C}$, on a : $\left\vert z_{1}+z_{2}\right\vert^{2}+\left\vert z_{1}-z_{2}\right\vert^{2}=2\left(\left\vert z_{1}\right\vert^{2}+\left\vert z_{2}\right\vert^{2}\right)$. Interprétation géométrique ?
10. Théorème : inverse. Tout complexe non nul possède un inverse, à savoir $\frac{1}{\left\vert z\right\vert^{2}}\overline{z}$.
    exo 20.  Simplifier $\frac{1+\cos x+i\sin x}{1-\cos x-i\sin x}$

2.4 Angles et cercles

1. Définition : partie unitaire. Pour $z\neq 0$, on pose $\mathbf{u}\! \left(z\right)=z\div \left\vert z\right\vert$.
   exo 21.  Vérifier que $\mathbf{u}\! \left(z\right)$ est unitaire, c'est à dire que $\left\vert\mathbf{u}\! \left(z\right)\right\vert=1$ (cercle trigonométrique).
   exo 22.  Module et argument de $\frac{1}{1+i\tan x}$.
2. Théorème : écriture multiplicative. Tout complexe $z$ non nul s'écrit $z=k\, u$ avec $k>0$, $u\in \mathbb{U}$. Cette décomposition est unique et de plus $\left(k_{1}\, u_{1}\right)\left(k_{2}\, u_{2}\right)=\left(k_{1}\, k_{2}\right)\left(u_{1}\, u_{2}\right)$ : isomorphisme.
3. Transformation $M\mapsto z\, M$. Pour $k>0$ fixé, la transformation plane $M\mapsto k\, M$ est une homothétie. Pour $u\in \mathbb{U}$ fixé, la transformation plane $M\mapsto u\, M$ est une rotation. Dans le cas général, $M\mapsto z\, M$ définit une similitude (conservation des angles et proportionnalité des longueurs).
   exo 23.  Tracer le carré $1+i,\, 2+i,\, 2+2i,\, 1+2i$. Déterminer et tracer son produit par $\frac{3+4i}{5}$ (on trouve un carré de même taille), puis par $-2+i$ (on trouve un carré plus grand).
4. Al Kashi. Dans un triangle de côtés $a,\, b,\, c$ on a $\cos \hat{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b\, c}$.
   exo 24.  Retrouver cette formule en calculant le carré scalaire de $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$.
5. Projection stéréographique. On considère (Fig. 3) les points $M\left(c,\, s\right)$ et $S\left(-1,\, 0\right)$ du cercle trigonométrique. On appelle $P$ le point $\left(SM\right)\cap i\, \mathbb{R}$, avec $P\left(0,\, i\, t\right)$. On trouve :
   $$c=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\quad s=\frac{2t}{1+t^{2}}$$

   Figure: Théorème de l'angle au centre.

   

6. Théorème de l'angle au centre. Les formules ci-dessus montrent que l'angle $ASM$ est la moitié de l'angle $AOM$. Plus précisément, on a
   $$\left(\left(SA\right),\, \left(SM\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA},\, \overrightarrow{OM}\right)$$
   l'angle $\left(\overrightarrow{OA},\, \overrightarrow{OM}\right)$ étant un angle orienté de vecteurs non nuls, défini à un tour près par sinus et cosinus (i.e. par $w=c+i\, s$) et l'angle $\left(\left(SA\right),\, \left(SM\right)\right)$ étant un angle de droites, défini à un demi-tour près par une tangente (i.e.  $t\in \mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\}$ ).

2.5 Racines carrées

1. Propriété : tout réel positif est le carré d'un et d'un seul réel positif que l'on appelle sa racine carrée. Le symbole $\sqrt{x}$ est réservé à cet usage.
2. Théorème : racine carrée complexe. Tout nombre complexe $z\neq 0$ possède deux racines carrées (complexes). Ces deux racines sont opposées.

   Figure: Racine carrée d'un nombre complexe.

   

3. Méthode de calcul. On décompose $z$ en $z=\left\vert z\right\vert\, w$ avec $\left\vert z\right\vert>0$ et $w\in \mathbb{U}$, c'est à dire $\left\vert w\right\vert=1$. Un nombre $\zeta$ tel que $\zeta ^{2}=z$ se décompose en $\zeta =k\, v$. Par identification, on a $w=v^{2}$ et $\left\vert z\right\vert=k^{2}$. On a donc (dans $\mathbb{R}^{+}$) $k=\sqrt{\left\vert z\right\vert}$.
   Supposons $w\neq -1$ et appelons N (Fig. 4) le point ayant $1+w$ pour affixe. Alors la droite $\left(ON\right)$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{OA},\, \overrightarrow{OM}\right)$. Elle coupe le cercle en deux points opposés, qui sont les points $v$ et $-v$ cherchés. D'où la formule
   $$\zeta ,\, -\zeta =\pm \frac{z+\left\vert z\right\vert}{\left\vert z+\left\vert z\right\vert\right\vert}\sqrt{\left\vert z\right\vert}$$
   exo 25.  Calculer les racines carrées des nombres $3+4i$, $4+3i$, $2+3i$
4. Théorème (d'Alembert). Tout polynôme complexe possède exactement autant de racines (complexes) que son degré (en convenant de compter multiplement les racines multiples). exo 26.  Montrer que l'équation $a\, z^{2}+b\, z+c=0$ avec $a,\, b,\, c\in \mathbb{C}$ (et $a\neq 0$) se résout par les formules habituelles. Exemple : $\left(1+i\right)z^{2}+\left(4-2i\right)z+\left(-9-7i\right)$.
   exo 27.  L'équation $z^{3}-\left(3+2i\right)z^{2}+\left(3+11i\right)z-2\left(1+7i\right)=0$ a-t-elle des racines réelles ? Résoudre. De même avec $z^{3}-\left(4+4i\right)z^{2}-\left(2-8i\right)z+12=0$.
   exo 28.  Soit $z=\exp \left(i\frac{2\pi }{7}\right)$. On pose $S=z+z^{2}+z^{4}$ et $T=z^{3}+z^{5}+z^{6}$. Montrer que $S,\, T$ sont conjugués et que $\Im \left(S\right)>0$. Calculer $S+T$ et $S\, T$. Conclure. exo 29.  Soit $P\left(z\right)$ un polynôme du troisième degré à coefficients complexes. Montrer que les racines de $P'\left(z\right)$ appartiennent au triangle déterminé par les racines de $P\left(z\right)$.