3 Cycles et homographies

3.1 Similitudes

1. Définition : similitude. C'est le nom donné aux transformations $\mathbb{C}\hookrightarrow \mathbb{C}\, :\, z\mapsto a\, z+b$ pour $a\neq 0$ et $a,\, b\in \mathbb{C}$ fixés.
2. Propriétés. Une similitude est une bijection (par définition, $a\neq 0$).
   exo 30.  Montrer que l'ensemble des similitudes est un groupe. En particulier, déterminer la transformation inverse d'une similitude donnée.
3. Point fixe d'une similitude. Pour l'identité, tous les points sont fixes. Pour une "vraie" translation, aucun point de $\mathbb{C}$ n'est fixe. Et lorsque $a\neq 1$, il y a exactement un point fixe.
4. Théorème : caractérisation. La donnée de $z_{1}\neq z_{2}$ et de $\zeta _{1}\neq \zeta _{2}$ caractérise une similitude. Autrement dit, il existe une et une seule similitude $\sigma$ telle que $\sigma \left(z_{1}\right)=\zeta _{1}$ et $\sigma \left(z_{2}\right)=\zeta _{2}$.
   exo 31.  Vérifier ce théorème en calculant les coefficients $a,\, b$ de cette similitude.
5. Théorème : triangles semblables. Le triplet de points distincts $\left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3}\right)$ peut être envoyé par une similitude sur le triplet de points distincts $\left(\zeta _{1},\, \zeta _{2},\, \zeta _{3}\right)$ si et seulement si
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} \zeta _{1} & \zeta _{2} & \zeta _{3}\\ z_{1} & z_{2} & z_{3}\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right\vert=0$$
   exo 32.  Démontrer ce théorème en montrant que le système $\left\{ t\, \zeta _{i}+a\, z_{i}+b\times 1\, ;\, i=1,2,3\right.$ doit avoir $\left(-1,\, a,\, b\right)$ pour solution, en plus de la solution évidente $\left(0,0,0\right)$.
6. Invariant de similitude. La quantité $\frac{c-a}{b-a}$ caractérise les triangles qui sont semblables à un triangle donné. Plus précisément, $\left\vert\frac{c-a}{b-a}\right\vert$ caractérise la proportion entre les côtés $ab$ et $ac$, tandis que $\mathbf{u}\! \left(\frac{c-a}{b-a}\right)$ caractérise l'angle orienté $\widehat{bac}$.
   exo 33.  Montrer que $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a\, b-b\, c-c\, a=0$ caractérise les triangles équilatéraux.
   exo 34.  Soient $A\left(-1+i\right)$, $B\left(2-i\right)$, $M\left(z\right)$ et $w=1+i$. Caractériser les points tels que $\left\vert\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right\vert=\left\vert w\right\vert$, $\mathbf{u}\! \left(\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right)=\mathbf{u}\! \left(w\right)$, $\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}=w$.

3.2 Cycles

1. Définition. $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}$, avec $\infty \notin \mathbb{C}$.
2. Définition : cycle. Un cycle est soit un cercle ordinaire, soit une droite complétée par $\infty \in \overline{\mathbb{C}}$.
3. Propriété : droite définie par deux points distincts. Les points $M=x+i\, y$ de la droite $\left(AB\right)$ définie par $A=a+i\, \alpha \neq B=b+i\, \beta$ (les $x,y,a,\alpha ,b,\beta$ sont des coordonnées, c'est à dire des réels) sont caractérisés par :
   $$\left\vert\begin{array}{ccc} x & y & 1\\ a & \alpha & 1\\ b & \beta & 1\end{array}\right\vert=0$$

4. Propriété : cycle défini par trois points distincts. Trois points $M_{1},\, M_{2},\, M_{3}$ de $\overline{\mathbb{C}}$ (deux à deux distincts) définissent un cycle. Lorsque ces trois points sont à distance finie, l'équation du cycle est :
   $$\left\vert\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\ x_{1}^{... ... z_{3}\overline{z_{3}} & z_{3} & \overline{z_{3}} & 1\end{array}\right\vert=0$$

5. Un exemple. On considère les points $2-3\, I,\, -1+2\, I,\, 1+I,\, x+I\, y$. L'équation ci-dessus s'écrit : $\left\vert\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\ 13 & 2 & -3 & 1\\ 5 & -1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1\end{array}\right\vert=0$, se développe en
   $$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left\vert\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 1\\... ...in{array}{rrr} 13 & 2 & -3\\ 5 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right\vert=0$$
   soit $7\, x^{2}+7\, y^{2}+23\, x+25\, y-62=0$. Que l'on réécrit en $\left(x+\frac{23}{14}\right)^{2}+\left(y+\frac{25}{14}\right)^{2}-\frac{1445}{98}=0$ pour faire apparaître le centre $\omega =-\frac{23}{14}-\frac{25}{14}i$ et le rayon $\rho =\sqrt{\frac{1445}{98}}$.
   exo 35.  Reprendre les calculs pour le cycle défini par les points $1-i$, $2+i$ et $-3+2i$.
   exo 36.  Démontrer cette formule. Examiner le cas des points alignés.
6. Propriété : angles inscrits. Soient $A,\, B,\, M$ non alignés, et $\Omega$ le centre de leur cercle circonscrit. Alors $\left(\left(MA\right),\, \left(MB\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\Omega A},\, \overrightarrow{\Omega B}\right)$.
   exo 37.  Démontrer cette formule (se ramener au cercle trigonométrique, et décomposer $\left(z-z_{A}\right)/\left(z-z_{B}\right)$ en module fois partie unitaire).
7. Théorème : arc capable. L'ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA},\, \overrightarrow{MB}\right)=\alpha$, c'est à dire $\mathbf{u}\! \left(\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right)=Cte$ est un arc de cercle limité par les points $A$ et $B$ (supposés distincts). Le centre de l'arc est sur la médiatrice de $\left[A,\, B\right]$.
   exo 38.  Enoncer clairement ce qui se passe pour $\alpha =0$ et $\alpha =\pi$.
8. Théorème : cercle de Poncelet. L'ensemble des points $M$ tels que $MA/MB=k$ (ou, de façon équivalente, tels que $\left\vert\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}\right\vert=k$) est la médiatrice de $\left[A,\, B\right]$ lorsque $k=1$ et sinon est un cercle contenant l'un des deux points à son intérieur. Le centre de ce cercle est sur la droite $\left(AB\right)$. exo 39.  Démontrer ces deux théorèmes en utilisant la propriété des angles inscrits.
9. Propriété : points cocycliques. Quatre points distincts $A,\, B,\, C,\, D$ sont cocycliques si et seulement si $\left(\overrightarrow{CA},\, \overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{DA},\, \overrightarrow{DB}\right)$ ou $\left(\overrightarrow{CA},\, \overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{DA},\, \overrightarrow{DB}\right)+\pi$. Dans le premier cas $C,\, D$ sont sur le même arc $\overbrace{AB}$ et dans le deuxième cas, il y en a un sur chaque arc.
10. Définition : birapport. Le birapport de quatre points $z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}\in \overline{\mathbb{C}}$ dont au moins trois sont distincts se définit par
    $$\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}\right)=\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}\div \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}$$
    exo 40.  Examiner les cas particuliers : points confondus, point(s) à l'infini.
    exo 41.  Montrer que les 24 permutations des quatre points ne conduisent pas à plus de six valeurs du birapport. Déterminer les cas particuliers, c'est à dire ceux pour lesquels il y a moins de six valeurs distinctes.
11. La cocyclicité est caractérisée par la réalité du birapport. Le point $z\in \overline{\mathbb{C}}$ appartient au cycle défini par les trois points distincts $z_{1},\, z_{2},\, z_{3}\in \overline{\mathbb{C}}$ si et seulement si $\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z\right)$ appartient au cycle des réels, c'est à dire $\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z\right)\in \mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\}$
    exo 42.  Vérifier que cet énoncé gère tous les cas particuliers : points alignés, points à l'infini, point $z$ confondu avec l'un des trois autres.
    exo 43.  Calculer le birapport des points $1,\, i,\, -1,\, -i$.
    exo 44.  Reprendre les calculs de l'exemple $2-3\, I,\, -1+2\, I,\, 1+I,\, x+I\, y$. Vérifier que l'on obtient la même équation.
    exo 45.  Montrer que "$\beta$ appartient au cycle imaginaire", c'est à dire $\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z\right)\in i\, \mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\}$ définit un autre cycle. Comment se place-t-il par rapport au cycle $\left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3}\right)$ ?

3.3 Homographies : définitions

1. Objectif : déterminer les transformations cycliques de $\overline{\mathbb{C}}$, c'est à dire celles qui transforment tout cycle en un cycle.
2. Définition : homographie. Une homographie est l'application $h\, :\, \overline{\mathbb{C}}\hookrightarrow \overline{\mathbb{C}}$ associée à la formule $z\mapsto \frac{a\, z+b}{c\, z+d}$ les constantes $a,\, b,\, c,\, d$ vérifiant la relation $a\, d-b\, c\neq 0$. Plus précisément :
   1. pour $c=0$, on pose $h\left(\infty \right)=\infty$ et sinon $h\left(z\right)=\frac{a}{d}\, z+\frac{b}{d}$ (vu la définition, on a $d\neq 0$ et $h$ est une similitude, car $\frac{a}{d}\neq 0$).
   2. pour $c\neq 0$, on pose $h\left(\infty \right)=\frac{a}{c}$, $h\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty$ et sinon $h\left(z\right)=\frac{a\, z+b}{c\, z+d}$.
3. Propriété : formules de variation (pour $c\neq 0$).
   $$h\left(\infty \right)-h\left(z\right)=\frac{a\, d-b\, c}{c\left(c... ..._{2}\right)\frac{a\, d-b\, c}{\left(c\, z_{1}+d\right)\left(c\, z_{2}+d\right)}$$

4. Théorème : les homographies sont des bijections $\overline{\mathbb{C}}\hookrightarrow \overline{\mathbb{C}}$. Tel est déjà le cas pour les similitudes. Lorsque $c\neq 0$, les formules de variation prouvent l'injectivité (car $a\, d-b\, c\neq 0$). La surjectivité peut être montrée en composant $h$ avec $\zeta \mapsto \frac{d\, \zeta -b}{-c\, \zeta +a}$.
   exo 46.  Image de la droite $i\mathbb{R}$, des droites $k+i\mathbb{R}$ par la transformation $h\left(z\right)=\frac{z+1}{z+2}$. On commencera par calculer et placer un certain nombre de points.
   exo 47.  Même question pour les droites $\mathbb{R}+k\, i$ et la transformation $h\left(z\right)=\frac{z-i}{z+i}$.
5. Définition : pôle. Le pôle d'une homographie est le point $\infty$ pour une similitude, et $-\frac{d}{c}$ sinon.
6. Proposition : composition. Les homographies se composent comme les matrices et on a :
   $$\left(z\mapsto \frac{\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }\right)\ci... ... \end{array}\right)\left(\! \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right)$$
   exo 48.  Examiner le lien entre cette proposition et le déterminant des matrices concernées. exo 49.  Démontrer cette formule en décomposant $h$ en $h=p\circ \phi \circ q$ avec $q\, :\, z\mapsto \left(\begin{array}{c} z\\ 1\end{array}\right)$, $\phi \, :\, \left(\begin{array}{c} z\\ 1\end{array}\right)\mapsto \left(\beg... ...& b\\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z\\ 1\end{array}\right)$ et enfin $p\, :\, \left(\begin{array}{c} \zeta _{1}\\ \zeta _{2}\end{array}\right)\mapsto \zeta =\frac{\zeta _{1}}{\zeta _{2}}$. On traitera à part les cas particuliers (pôle et infini).
   exo 50.  Examiner les problèmes d'unicité dans l'exercice précédent. En particulier, on remarquera que $q\, :\, z\mapsto \left(\begin{array}{c} k\, z\\ k\end{array}\right)$ ferait tout aussi bien l'affaire.
7. Théorème : l'ensemble des homographies est un groupe de bijections agissant sur $\overline{\mathbb{C}}$.

3.4 Un exemple : l'algorithme de la racine carrée (Newton)

1. Pour $a\in \mathbb{C}$ fixé, on appelle algorithme de Newton la suite des images itérées d'un certain nombre $z_{0}$ par la fonction $new\, :\, new\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{a}{z}\right)$. On a donc $z_{n+1}=new\left(z_{n}\right)$.
2. Pour $a=2+I$ et les points de départ $z_{0}=1$ ou $z_{0}=i$, on obtient les résultats suivants :
   $$\left[\begin{array}{c} 1.\\ 1.500000000+.5000000000\, I\\ 1.4... ... 1.455348807+.3435629317\, I\\ 1.455346690+.3435607496\, I\end{array}\right]$$
   On constate une convergence rapide vers un nombre qui est l'une des racines carrées du nombre $a$.
   exo 51.  Reprendre les calculs pour $a=1-2i$ et les mêmes $z_{0}$.
3. Soit $\alpha$ l'une des racines carrées de $a$ (l'existence de $\alpha$ a été prouvée par ailleurs) et $h\, :\, z\mapsto \zeta =\frac{z-\alpha }{z+\alpha }$. L'objectif est d'envoyer l'un des points remarquables sur 0 et l'autre sur $\infty$. La bijection réciproque est $h^{-1}\, :\, \zeta \mapsto z=\alpha \frac{1+\zeta }{1-\zeta }$. Définissons $\zeta _{n}$ par $\zeta _{n}=h\left(z_{n}\right)$.
4. On peut calculer directement $\zeta _{n+1}$ à partir de $\zeta _{n}$ par la formule $\zeta _{n+1}=\left(h\circ new\circ h^{-1}\right)\left(\zeta _{n}\right)$. Le calcul donne : $\zeta _{n+1}=\zeta _{n}^{2}$. On voit donc que $\left\vert\zeta _{0}\right\vert<1$ implique $\zeta _{n}\rightarrow 0$ et donc $z\rightarrow \alpha$, tandis que $\left\vert\zeta _{0}\right\vert>1$ implique $\zeta _{n}\rightarrow \infty$ et donc $z\rightarrow -\alpha$.
5. Dans les deux cas, la convergence est très rapide : le nombre de décimales exactes double à chaque fois. Dans l'exemple, $z_{0}=1$ aboutit légèrement plus rapidement que $z_{0}=i$ parce que les valeurs respectives de $\zeta _{0}$ sont $\approx 0.23$ et $\approx 0.81$.
6. Il reste un mauvais cas : $\left\vert\zeta _{0}\right\vert=1$. Le point $z_{0}$ est à égale distance des deux solutions possibles... et les $z_{n}$ continuent à vérifier cette propriété : ils restent confinés sur la médiatrice du segment $\left[+\alpha ,\, -\alpha \right]$.
   exo 52.  Il est clair que l'algorithme repose sur un choix optimal de la fonction $new$. Comment choisir cette fonction pour résoudre, en général, une équation $f\left(z\right)=0$ ?

3.5 Les homographies conservent les cycles

1. Théorème : une homographie conserve le birapport. Autrement dit,
   $$\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}\right)=\beta \left(h... ...ht),\, h\left(z_{2}\right),\, h\left(z_{3}\right),\, h\left(z_{4}\right)\right)$$
   dès que trois au moins des points sont distincts.
   exo 53.  Démontrer ce résultat en séparant le cas des similitudes et le cas général.
2. Théorème : une homographie transforme un cycle en un cycle.
   exo 54.  Vérifier qu'il s'agit d'une application immédiate du théorème précédent
   exo 55.  Déterminer toutes les homographies qui conservent globalement le cycle réel, c.à.d. $h\left(\mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\} \right)=\mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\}$. exo 56.  Même question pour le cycle imaginaire et pour le cercle unité.
3. Théorème : une homographie est caractérisée par la donnée de trois points distincts et de leurs images. Et $h\left(z\right)$ est caractérisé par $\beta \left(h\left(z_{1}\right),\, h\left(z_{2}\right),\, h\left(z_{3}\right),\, h\left(z\right)\right)=\beta \left(z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z\right)$.
   exo 57.  Prendre pour exemple $1+i\mapsto 0$, $1-i\mapsto \infty$, $2\mapsto 1$. On trouve $h\left(z\right)=i\frac{z-\left(1+i\right)}{z-\left(1-i\right)}$.
4. Formule : pour $a\neq b$, les homographies $a\mapsto 0$, $b\mapsto \infty$ s'écrivent $h\left(z\right)=Cte\, \frac{z-a}{z-b}$ (la constante est déterminée par le troisième point).
5. Définition : transformation conforme. On appelle ainsi une transformation qui conserve les angles entre les courbes. On prendra garde au fait que la droite tangente à l'image d'une courbe n'a aucune raison d'être l'image de la droite tangente à la courbe originelle : il s'agit donc d'une propriété locale, concernant des angles ayant des côtés infinitésimaux.
6. Théorème : une transformation dérivable est conforme en tout point où sa dérivée est non nulle. Preuve : $d\zeta \sim f'\left(z_{0}\right)\, dz$ définit une similitude.
7. Un exemple : l'homographie $\textrm{z}\mapsto \frac{\textrm{z}-1}{z+1}$ (cf FIG. 5).
   exo 58.  Montrer que toute droite se transforme en un cycle passant par $\zeta =1$
   exo 59.  Montrer que tout cycle passant par $z=-1$ se transforme en une droite
   exo 60.  Montrer que toutes les droites horizontales se transforment en autant de cycles tangents entre eux
   exo 61.  Montrer que toutes les droites verticales se transforment en autant de cycles tangents entre eux et orthogonaux aux cycles précédents
   exo 62.   Considérer en particulier le cycle $\mathbb{R}+i$. Montrer géométriquement qu'il se transforme en le cercle de rayon $1$ centré en $1+i$. Vérifier ensuite par report de $h\left(z\right)$ dans l'équation du cercle.

   Figure: Un carré et son image par homographie.

3.6 Sphère de Riemann

1. Définition : sphère de Riemann. Il s'agit de la sphère unité $\mathbb{S}$ de $\mathbb{R}^{3}$, c'est à dire $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ considérée comme image du plan complexe $\overline{\mathbb{C}}$ par la projection stéréographique.
2. Définition : projection stéréographique. Par définition, $\sigma \left(\infty \right)=S$, le point $S\left(0,\, 0,\, -1\right)$ étant le pôle sud de la sphère. Pour tout autre point $M\in \overline{\mathbb{C}}$ (c'est à dire pour $M\in \mathbb{C}$ !), son image $P=\sigma \left(M\right)$ est la deuxième intersection de la droite $\left(SM\right)$ et de la sphère $\mathbb{S}$.
3. Formules directes. Pour $z\in \mathbb{C}$, on a
   $$a+i\, b=\frac{2\, z}{1+\left\vert z\right\vert^{2}},\; c=\frac{1-... ...: longitude=\theta ,\, latitude=\frac{\pi }{2}-2\arctan \left\vert z\right\vert$$
   exo 63.  Vérifier ces formules.
   exo 64.  Quelle est l'image du cycle réel, du cycle imaginaire, du cercle trigonométrique, du cercle ayant $\left[0,\, 1\right]$ pour diamètre ?
4. Formules réciproques. Pour $P\in \mathbb{S}\setminus S$, on a
   $$x=\frac{a}{1+c},\, y=\frac{b}{1+c},\, \left\vert z\right\vert^{2}=\frac{1-c}{1+c}$$
   exo 65.  Vérifier ces formules.
5. Théorème. L'image d'un cycle $\left(\Gamma \right)$ de $\overline{\mathbb{C}}$ est un cercle $\left(\Theta \right)$ de $\mathbb{S}$.
   exo 66.  Montrer que l'image du cercle $x^{2}+y^{2}-2\alpha \, x-2\beta \, y+\gamma =0$ est l'intersection de $\mathbb{S}$ et du plan $2\alpha \, a+2\beta \, b+\left(1-\gamma \right)c=1+\gamma$. Commencer par traiter un exemple.
   exo 67.  On appelle Q le point $\left(\frac{2\alpha }{1+\gamma },\, \frac{2\beta }{1+\gamma },\, \frac{1-\gamma }{1+\gamma }\right)$. Montrer que $OQ\geq 1$ et que $Q\in \mathbb{S}$ équivaut à $\rho =0$ ($\rho$ est le rayon du cercle $\Gamma$, vérifiant donc $\gamma =\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\rho ^{2}$) .
   exo 68.  Montrer que le centre $\theta$ de $\Theta$ est sur la droite $\left(OQ\right)$, tandis que l'image $\sigma \left(\omega \right)$ du centre $\omega$ de $\Gamma$ est sur la droite $\left(SQ\right)$.
6. Exemple. La FIG. 6 montre l'image du cercle de centre $\omega =\left(\frac{1}{3},\, \frac{2}{3}\right)$ et de rayon $\frac{2}{3}$. Prendre des points sur ce cercle et calculer leurs images par $\sigma$. Vérifier que ces images appartiennent au plan prévu.
   Calculer les coordonnées des points $Q$, $\sigma \left(\omega \right)$, $\theta$. Les vérifier sur le dessin. Écrire et calculer les déterminants exprimant les alignements prévus.

   Figure: Un cercle et sa projection stéréographique.

3.7 Récurrences homographiques

1. Objectif. On veut étudier le comportement des suites $z_{n}=\left(h^{n}\right)\left(z_{0}\right)$, définies par une condition initiale $z_{0}$ et la récurrence $\textrm{z}_{\textrm{n}+1}=h\left(z_{n}\right)$.
2. Définition : les points fixes d'une transformation $f$ sont les points $z$ tels que $f\left(z\right)=z$.
3. Proposition. Si $f$ est continue et si $\left(f^{n}\right)\left(z_{0}\right)$ admet une limite $\lambda$, alors cette limite est un point fixe.
4. Proposition. Pour une homographie, l'équation aux points fixes s'écrit $c\, z^{2}+\left(d-a\right)z-b=0$. Il y a donc le cas particulier $c=0,\, d=a,\, b=0$ pour le quel tous les points sont fixes. Et sinon, il y a un point fixe double ou bien deux points fixes distincts selon que le discriminant $\Delta =\left(\frac{d-a}{2}\right)^{2}+b\, c=\left(\frac{a+d}{2}\right)^{2}-\left(a\, d-b\, c\right)$ est nul ou non.
5. Homographies ayant deux points fixes $\alpha ,\, \beta \in \mathbb{C}$. On pose :
   $$\zeta \doteq g\left(z\right)=\frac{z-\alpha }{z-\beta }\; ;\; H=g\circ h\circ g^{-1}\; ;\; k=\frac{c\, \beta +d}{c\, \alpha +d}$$
   $g$ envoie $\alpha$ sur 0, $\beta$ sur $\infty$, et l'on a $\zeta _{n}\doteq g\left(z_{n}\right)=\left(H^{n}\right)\left(\zeta _{0}\right)$. Comme les points fixes de $H$ sont 0 et $\infty$, l'homographie $H$ est donc une transformation $\zeta \mapsto k\, \zeta$ pour un certain $k\neq 0$. On en déduit :
   $$\left\{ \begin{array}{cccc} si & \left\vert k\right\vert<1\: et\:... ... si & k\in \mathbb{U}\setminus 1 & alors & non\, convergence\end{array}\right.$$
   exo 69.  Vérifier la nature de $H$ en posant le produit :

   
   
   

   $$	$$	$a$	$b$	$1$	$-\alpha$
   $$	$$	$c$	$d$	$1$	$-\beta$
   $\beta$	$-\alpha$	$\beta \, a-\alpha \, c$	$\beta \, b-\alpha \, d$	$-\alpha \, d-c\, \beta \, \alpha +\beta \, a+b$	$c\, \alpha ^{2}+\left(d-a\right)\, \alpha -b$
   $1$	$-1$	$a-c$	$b-d$	$-c\, \beta ^{2}-\left(d-a\right)\, \beta +b$	$-\alpha \, a+c\, \beta \, \alpha -b+\beta \, d$

   
   
   

   exo 70.  Montrer que le multiplicateur $k$ est en fait la dérivée de $h$ en $\alpha$, c'est à dire que $k=\frac{a\, d-b\, c}{\left(c\, \alpha +d\right)^{2}}$. On pourra utiliser le fait que $k$ est aussi la dérivée de $H$ (en tout point).
   exo 71.  Traiter l'exemple $z_{0}=0$, $h\left(z\right)=\frac{\left(2+i\right)z-i}{z+1}$ : calculer les $10$ premières valeurs. Les placer sur un dessin. Déterminer une courbe contenant tous ces points. Déterminer la limite. Que se passe-t-il lorsque l'on part de $z_{0}=\frac{1}{5}\left(1+4i\right)$.

6. Homographies avec un seul point fixe. Si $c=0$, le point fixe double est $\lambda =\infty$ et on a une translation. Sinon, $\left(d-a\right)^{2}+4b\, c=0$ et $\lambda =\frac{a-d}{2\, c}$. On définit $g$ par $g\left(z\right)=\frac{1}{z-\lambda }$. Posant $H=g\circ h\circ g^{-1}$, on voit que $\infty$ est le seul point fixe de $H$ qui est donc une "vraie" translation. D'où $\zeta _{n}\rightarrow \infty$ et $z_{n}\rightarrow \lambda$. On remarquera que $h'\left(\lambda \right)=H'\left(\zeta \right)=1$ : la convergence est donc très lente.