5 Séries de Fourier

5.1 Quelques rappels

1. Définition : espace vectoriel. Dire que l'ensemble $E$, ou plus précisément le triplet $\left(E,\, +,\, .\right)$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ veut dire que :
   1. $+$ est une opération $E\times E\hookrightarrow E$ avec les propriétés usuelles d'associativité : $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$, de commutativité : $v+w=w+v$, l'existence d'un neutre noté $\overrightarrow{0}$ ou $0_{E}$ ou même 0 tel que $u+0=0+u=u$, existence d'un opposé pour chaque vecteur avec $u+\left(-u\right)=0$.
   2. $.$ est une opération $\mathbb{C}\times E\hookrightarrow E$ avec les propriétés usuelles de linéarité $\left(\lambda +\mu \right).v=\lambda .v+\mu .v$ et $\lambda .\left(u+v\right)=\left(\lambda .u\right)+\left(\lambda .v\right)$, d'associativité $\left(\lambda \, \mu \right).v=\lambda .\left(\mu .v\right)$, ainsi que $1.v=v$
2. Définition : distance. Une distance $d$ sur un ensemble $E$ est une application $E\times E\hookrightarrow \mathbb{R}$ ayant les propriétés suivantes :
   1. définie positive, i.e. : $d\left(x,\, y\right)\geq 0$ et $d\left(x,\, y\right)=0$ équivaut à $x=y$.
   2. symétrique, i.e. : $d\left(x,\, y\right)=d\left(y,\, x\right)$.
   3. Inégalité triangulaire, i.e. : $d\left(x,\, y\right)\leq d\left(x,\, z\right)+d\left(z,\, y\right)$
   exo 93.  Vérifier que $d\left(x,\, x\right)=0$ et $d\left(x,\, y\right)=1$ si $x\neq y$ définit une distance sur n'importe quel ensemble.

   exo 94.  Vérifier que $d\left(x,\, y\right)=\frac{2\, \left\vert x-y\right\vert}{\sqrt{1+\left\vert x\right\vert^{2}}\sqrt{1+\left\vert y\right\vert^{2}}}$, prolongée par $d\left(x,\, \infty \right)=\frac{2}{\sqrt{1+\left\vert x\right\vert^{2}}}$ définit une distance sur $\overline{\mathbb{C}}$.

3. Définition : norme. Une norme sur un espace vectoriel $E$ est une application $E\hookrightarrow \mathbb{R}\, :\, v\mapsto \left\vert v\right\vert$ vérifiant :
   1. définie positive, i.e. : $\left\vert v\right\vert\geq 0$ et $\left\vert v\right\vert=0$ équivaut à $v=0$.
   2. lien avec les homothéties, i.e. : $\left\vert\lambda \, v\right\vert=\left\vert\lambda \right\vert\, \left\vert v\right\vert$.
   3. Inégalité triangulaire, i.e. : $\left\vert u+v\right\vert\leq \left\vert u\right\vert+\left\vert v\right\vert$
   exo 95.  Dans $E=\mathbb{R}^{3}$, vérifier que $\left\vert v\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert+\left\vert y\right\vert+\left\vert z\right\vert$ définit une norme.

   exo 96.  Dans $E=\mathbb{R}^{3}$, vérifier que $\left\vert v\right\vert _{\infty }=\max \left(\left\vert x\right\vert,\, \left\vert y\right\vert,\, \left\vert z\right\vert\right)$ définit une norme.

4. Théorème. Si $\left\vert.\right\vert$ est une norme sur l'espace vectoriel $E$, alors l'application $\left(u,\, v\right)\mapsto \left\vert u-v\right\vert$ définit une distance.

5.2 Produit scalaire

1. Définition. Un produit scalaire sur un espace vectoriel $E$ est une application $E\times E\hookrightarrow \mathbb{C}\, :\, \left(u,\, v\right)\mapsto \left\langle u\mid v\right\rangle$ ayant les propriétés suivantes :
   1. distributivité :  $\left\langle u+v\mid w\right\rangle =\left\langle u\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid w\right\rangle$
   2. semi-commutativité :  $\left\langle v\mid u\right\rangle =\overline{\left\langle u\mid v\right\rangle }$
   3. lien avec les homothéties :  $\left\langle u\mid \lambda \, v\right\rangle =\lambda \, \left\langle u\mid v\right\rangle$ et donc $\left\langle \mu \, u\mid v\right\rangle =\overline{\mu }\, \left\langle u\mid v\right\rangle$
   4. positivité stricte :  $\left\langle u\mid u\right\rangle \geq 0$ et $\left\langle u\mid u\right\rangle =0$ équivaut à $u=0$.
   exo 97.  Vérifier que $\left(x,\, y\right)\mapsto x\, y$ définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel $\mathbb{R}$.

   exo 98.  Vérifier que $\left(x,\, y\right)\mapsto \overline{x}\, y$ définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel $\mathbb{C}$.

   exo 99.  On se place dans l'espace vectoriel complexe $E=\mathbb{C}^{2}$, et on note $\overrightarrow{v}=\left(z,\, \zeta \right)$. Montrer que $\left(\overrightarrow{v_{1}},\, \overrightarrow{v_{2}}\right)\mapsto \overline{z_{1}}\, z_{2}+\overline{\zeta _{1}}\, \zeta _{2}$ est un produit scalaire.

2. Remarque : le terme "produit hermitien" est également utilisé pour les espaces vectoriels complexes.
3. Théorème. On considère l'espace vectoriel $E$ des fonctions continues à valeurs complexes définies sur un intervalle réel $\left[a,\, b\right]$, avec $a<b$. Alors
   $$\left(f,\, g\right)\mapsto \int _{a}^{b}\mu \left(t\right)\, \overline{f\left(t\right)}g\left(t\right)\, \mathrm{d}t$$
   définit un produit scalaire sur $E$ à condition que le poids $\mu$ soit positif sur $\left[a,\, b\right]$ et ne s'annule qu'en des points isolés.
4. Théorème. Si $\left\langle .\mid .\right\rangle$ est un produit scalaire, alors $u\mapsto \sqrt{\left\langle u\mid u\right\rangle }$ est une norme, appelée norme quadratique, ou encore "norme 2", ou "norme euclidienne".
5. Définition. Dans un espace vectoriel réel, on appelle angle non orienté de deux vecteurs l'angle (compris entre 0 et $180$ degrés) défini par
   $$\cos \theta =\frac{\left\langle u\mid v\right\rangle }{\sqrt{\left\langle u\mid u\right\rangle }\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }}$$

   exo 100.  Vérifier que ce quotient est effectivement compris entre $-1$ et $+1$.

5.3 Gramm-Schmidt par l'exemple

On considère l'espace vectoriel réel $E=\mathbb{R}_{2}\left[x\right]$ des fonctions polynomiales de degré deux au plus, et on pose $\left\langle f\mid g\right\rangle =\int _{0}^{1}\, f\left(t\right)g\left(t\right)\, \mathrm{d}t$.

On prendra garde au fait que, pour des polynômes, la numérotation des vecteurs, de même que celle des lignes et des colonnes des matrices, commence à 0, de façon à avoir la même valeur pour le numéro et pour le degré des polynômes. En particulier, $\mathbb{R}_{2}\left[x\right]$ est un espace de dimension $3$.

1. Remarque. La lettre $x$ désigne ici l'application identique $\overrightarrow{x}=t\mapsto t\in E$, et il convient de distinguer entre $1\in \mathbb{R}$ et $1\in E$, car ce $1$ là est en fait $\overrightarrow{1}=\left(t\mapsto 1\right)$.
2. Décomposition. Un élément $f\in E$ s'écrit $f=a\, x^{2}+b\, x+c=\left(1,\, x,\, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c} c\\ b\\ a\end{array}\right)$. On pose de même $g=\alpha \, x^{2}+\beta \, x+\gamma =\left(1,\, x,\, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c} \gamma \\ \beta \\ \alpha \end{array}\right)$.
3. Matrice de Gramm. Le produit scalaire $\left\langle f\mid g\right\rangle =\left\langle a\, x^{2}+b\, x+c\mid \alpha \, x^{2}+\beta \, x+\gamma \right\rangle$ se développe en une somme de $9$ termes. On voit mieux ce qui se passe en l'écrivant sous la forme
   $$\left\langle \left(c,\, b,\, a\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ ... ...)\, G\, \left(\begin{array}{c} \gamma \\ \beta \\ \alpha \end{array}\right)$$
   dans laquelle la matrice $G$ (matrice de Gramm) est la matrice définie par
   $$G=\left(\begin{array}{c} 1\\ x\\ x^{2}\end{array}\right)\otim... ...t)=\left(\left\langle x^{j}\mid x^{k}\right\rangle \right)_{0\leq j,\, k\leq 2}$$

4. Objectif. On cherche une base $\left(e_{j}\right)$ telle que la matrice de Gramm correspondante $\widehat{G}$ ait une forme plus simple que $G$, c'est à dire soit diagonale.
5. Méthode de Schmidt. On redresse successivement les vecteurs de la base initiale. On commence donc par garder le premier vecteur $e_{0}=\overrightarrow{1}$. Puis on redresse le deuxième vecteur, en posant $e_{1}=\overrightarrow{x}+\lambda \, \overrightarrow{1}$ et en choisissant $\lambda$ tel que $\left\langle e_{1}\mid \textrm{e}_{0}\right\rangle =0$. Comme $\left\langle x+\lambda \, 1\mid 1\right\rangle =\frac{1}{2}+\lambda \, 1$, on obtient $\lambda =-\frac{1}{2}$.
6. Schmidt, suite. On redresse le troisième vecteur, en posant $e_{2}=x^{2}+\lambda \, x+\mu \, 1$ et en choisissant $\lambda$ et $\mu$ tels que $\left\langle e_{2}\mid x\right\rangle =0$ et $\left\langle e_{2}\mid 1\right\rangle =0$. Les calculs se trouvent facilités en les écrivant $e_{2}=x^{2}+a\, e_{1}+b\, e_{0}$, avec $\left\langle e_{2}\mid e_{1}\right\rangle =\left\langle e_{2}\mid e_{0}\right\rangle =0$. On obtient alors $\left\langle e_{2}\mid e_{1}\right\rangle =\left\langle x^{2}\mid x-\frac{1}{2... ...\rangle +a\left\langle e_{1}\mid e_{1}\right\rangle =\frac{1}{12}+a\frac{1}{12}$, d'où $a=-1$ ; de même $\left\langle e_{2}\mid e_{0}\right\rangle =\left\langle x^{2}\mid 1\right\rangle +b\left\langle e_{0}\mid e_{0}\right\rangle =\frac{1}{3}+b\, 1$, d'où $b=-\frac{1}{3}$.
7. Schmidt, bilan. On a obtenu la formule de changement de base :
   $$\left(e_{0},\, e_{1},\, e_{2}\right)=\left(1,\, x,\, x^{2}\right)... ...} 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6}\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
   la matrice de passage $P$ étant triangulaire (et inversible, comme il se doit pour une matrice de passage). Et la nouvelle matrice de Gramm vaut :
   $$\widehat{G}=\, ^{t}\! P\, G\, P=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{12} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{180}\end{array}\right)$$
   exo 101.  Poser à la fois les intégrales correspondant au calcul direct des $\left\langle e_{j}\mid e_{j}\right\rangle$ et les produits matriciels correspondant à $\widehat{G}=\, ^{t}\! P\, G\, P$.
   exo 102.  Retrouver les formules de changement de coordonnées, et en déduire la formule $\widehat{G}=\, ^{t}\! P\, G\, P$.

5.4 Parseval par l'exemple

1. Définition. Lorsque la base $\left(e_{j}\right)$ est orthogonale, les coefficients $c_{j}$ de la décomposition du vecteur $f\in E$ en $f=\sum c_{j}\, e_{j}$ s'appellent également coefficients de Fourier du vecteur $f$.
2. Théorème. Le $k$-ième coefficient de Fourier du vecteur $f$ vaut
   $$c_{k}=\frac{\left\langle f\mid e_{k}\right\rangle }{\left\langle e_{k}\mid e_{k}\right\rangle }$$
   On remarquera que ce coefficient est indépendant du choix des autres vecteurs de la base (tant que cette base reste une base orthogonale).
   exo 103.  Démontrer cette formule.
   exo 104.  Appliquer cette formule à l'exemple $f=x^{2}+x+1$ et vérifier que $f=\frac{11}{6}e_{0}+2e_{1}+1e_{2}$.
3. Théorème (égalité de Parseval). Lorsque $f\in E$, on obtient $\left\vert f\right\vert^{2}\doteq \left\langle f\mid f\right\rangle =\sum \left\vert c_{j}\right\vert^{2}\left\langle e_{j}\mid e_{j}\right\rangle$.
   exo 105.  Vérifier cette formule en calculant $\left\vert x^{2}+x+1\right\vert^{2}$ de deux manières différentes.
   exo 106.  Démontrer cette formule, et faire le lien avec $\widehat{G}=\, ^{t}\! P\, G\, P$.
   exo 107.  Reprendre tous les calculs avec le produit scalaire $\left\langle f\mid g\right\rangle =\int _{0}^{1}t\, f\left(t\right)\, g\left(t\right)\, \mathrm{d}t$.
   exo 108.  Reprendre tous les calculs avec le produit scalaire $\left\langle f\mid g\right\rangle =\int _{0}^{1}t^{2}\, f\left(t\right)\, g\left(t\right)\, \mathrm{d}t$.

5.5 Projections orthogonales et inégalité de Bessel

exo 109.  On applique la formule des coefficients de Fourier au vecteur $\phi =x^{3}$ (malgré le fait que $f\notin E$). Vérifier que l'on trouve $c_{0}=\frac{1}{4}$, $c_{1}=\frac{9}{10}$ et $c_{2}=\frac{3}{2}$.

La présente section consiste à trouver la signification de ces coefficients.

1. Définition : somme directe. On dit que deux sous-espaces $E_{1}$ et $E_{2}$ d'un espace $E$ sont en somme directe lorsque $E=E_{1}+E_{2}$ et que, en même temps, $E_{1}\cap E_{2}=\left\{ \overrightarrow{0}\right\}$. On note en pareil cas $E=E_{1}\oplus E_{2}$.
2. Définition : décomposition. Lorsque $E=E_{1}\oplus E_{2}$, tout vecteur $x\in E$ peut s'écrire $x=x_{1}+x_{2}$ avec $x_{j}\in E_{j}$, et cette décomposition est unique.
3. Définition : projecteurs. Lorsque $E=E_{1}\oplus E_{2}$, les applications $p_{j}\, :\, E\hookrightarrow E_{j}\, :\, x\mapsto x_{j}$ s'appellent les projecteurs associés à la décomposition en somme directe.
4. Caractérisation. Une application $p\, :\, E\hookrightarrow E$ est un projecteur si et seulement si $p$ est linéaire et vérifie $p\circ p=p$. Le projecteur associé est alors $id-p$.
5. Proposition. La somme de deux projecteurs $p$ et $q$ est encore un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$ exo 110.  Vérifier ce résultat pour des projecteurs associés. exo 111.  Démontrer ce résultat dans le cas général.
6. Projecteur orthogonal selon un vecteur non nul. Pour $e$ non nul fixé, l'application $v\mapsto p\left(v\right)\doteq e\frac{\left\langle v\mid e\right\rangle }{\left\langle e\mid e\right\rangle }$ est une projection sur $Vec\left(e\right)$, et de plus $\forall v\, :\, \left\langle p\left(v\right)\mid q\left(v\right)\right\rangle =0$.
7. Théorème : projecteur orthogonal sur un sous espace. Lorsque les vecteurs $e_{j}$ sont non nuls et orthogonaux deux à deux, c'est à dire forment une base orthogonale de $Vec\left(e_{0},\, \cdots ,\, e_{n}\right)$, l'application
   $$v\mapsto p\left(v\right)\doteq \sum e_{j}\frac{\left\langle v\mid e_{j}\right\rangle }{\left\langle e_{j}\mid e_{j}\right\rangle }$$
   est une projection sur $Vec\left(e\right)$, et de plus $\left\langle p\left(v\right)\mid v-p\left(v\right)\right\rangle =0$. exo 112.  Vérifier ces orthogonalités sur l'exemple choisi, i.e. $\left\langle p_{0}\left(f\right)\mid f-p_{0}\left(f\right)\right\rangle =0$, puis $\left\langle \left(p_{0}+p_{1}\right)\left(f\right)\mid f-\left(p_{0}+p_{1}\right)\left(f\right)\right\rangle =0$ et $\left\langle \left(p_{0}+p_{1}+p_{2}\right)\left(f\right)\mid f-\left(p_{0}+p_{1}+p_{2}\right)\left(f\right)\right\rangle =0$.
8. Théorème (inégalité de Bessel). Lorsque l'on supprime l'hypothèse $f\in E$, l'égalité de Parseval doit être remplacée par $\sum \left\vert c_{j}\right\vert^{2}\left\langle e_{j}\mid e_{j}\right\rangle \leq \left\langle f\mid f\right\rangle$. Cette relation combine l'égalité de Parseval pour $\psi \doteq p\left(\phi \right)$ avec l'inégalité $\left\vert\psi \right\vert\leq \left\vert\phi \right\vert$. exo 113.  Appliquer cette formule à l'exemple choisi (on trouve $\frac{57}{400}\leq \frac{1}{7}$).