Ensait - A1-E1 - Variable Complexe

Date: Projet de DS - durée 1 h30

1 Équation à coefficients complexes

On considère l'équation $z^{2}+(2+i)\, z+a=0$ l'inconnue étant $z$ et $a$ étant un paramètre.

1. Déterminer $a$ pour que $z_{1}=2-i$ soit racine. Quelle est alors l'autre racine ?
   1. La substitution donne $\left( 2-i\right) ^{2}+\left( 2+i\right) \left( 2-i\right) +a=0$, qui conduit à $a=-8+4i$.
   2. La deuxième racine est $z_{2}=-\frac{B}{A}-z_{1}=-4$. On vérifie que $z_{1}\, z_{2}=\frac{C}{A}$.
2. Déterminer $a$ pour que l'équation ait une racine double. Quelle est alors cette racine ?
   1. Le discriminant est $\Delta =B^{2}-4A\, C=3+4i-4a$ qui est nul pour $a=\frac{3}{4}+i$.
   2. La racine vaut alors $-\frac{B}{2A}=-1-\frac{1}{2}i$.
3. Résoudre pour $a=-9-19\, i$.
   1. On a $\Delta =3+4i-4a=39+80i$, et l'on a donc $\left\vert \Delta \right\vert =\sqrt{39^{2}+80^{2}}=89$.
   2. Les racines carrées d'un nombre complexe $\zeta$ sont données par la formule $\pm \frac{\zeta +\rho }{\left\vert \zeta +\rho \right\vert }\sqrt{\rho }$. Ici, $u\left( 128+80i\right) \sqrt{89}=u\left( 8+5i\right) \sqrt{89}=8+5i$.
   3. Finalement, les racines de l'équation sont
      $\frac{1}{2}\left( -2-i+8+5i\right) =3+2i$ et $\frac{1}{2}\left( -2-i-8-5i\right) =-5-3i$
   4. La Fig. 1 donne les courbes de niveau du module de $z^{2}+\left( 2+i\right) z-9-19i$ en fonction de $x$ et de $y$. Au fur et à mesure que ce module augmente, les courbes de niveau deviennent quasiment circulaires.

Figure 1: Courbes de niveau de $\left \vert z^{2}+\left ( 2+i\right ) z-9-19i\right \vert$

2 Une récurrence

On considère les points $z_{1}=1+i$, $z_{2}=1-i$, $z_{3}=2i$.

1. Déterminer si les points $z_{1},\, z_{2},\, z_{3}$ et $z_{4}=-2-2i$ sont cocycliques (utiliser un birapport).
   1. Par définition, $\beta \left( z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}\right) =\frac{\left( z_{4}-z_{2}... ... z_{3}-z_{1}\right) }{\left( z_{4}-z_{1}\right) \, \left( z_{3}-z_{2}\right) }$. On trouve $\beta \left( z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z_{4}\right) =\frac{1}{3}$ : les points sont cocycliques.
2. Donner l'équation du cycle $\Gamma$ déterminé par les points $z_{1},\, z_{2},\, z_{3}$ (décrire la méthode utilisée). Vérifier qu'il s'agit d'un cercle. En déterminer le centre et le rayon.
   1. Première méthode : on calcule $\beta \left( z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, x+i\, y\right)$ et on écrit que sa partie imaginaire est nulle. Il vient $x^{2}+y^{2}+2\, x-4=0$.
   2. Deuxième méthode : on écrit que les quantités $\left[ x^{2}+y^{2},\, x,\, y,\, 1\right]$ pour les trois points fixes et le point courant du cercle sont liées, et donc que leur déterminant est nul, soit $\left\vert \begin{array}{cccr} x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 1\\ 4 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right\vert =0$. On retrouve $x^{2}+y^{2}+2\, x-4=0$.
   3. On a effectivement un cercle (autrement dit les points ne sont pas alignés) parce que le coefficient de $x^{2}+y^{2}$ est non nul.
   4. Le centre et le rayon s'obtiennent en transformant l'équation en $\left( x+1\right) ^{2}+y^{2}=5$ : le centre est $\left( -1,\, 0\right)$ et le rayon $\sqrt{5}$.
3. Déterminer l'homographie $\phi$ caractérisée par $\phi \left( z_{1}\right) =z_{1}$, $\phi \left( z_{2}\right) =z_{2}$, $\phi \left( z_{3}\right) =z_{4}$.
   1. Coefficient indéterminés : on pose $\phi \left( z\right) =\frac{a\, z+b}{c\, z+d}$. On a donc $z_{1}=\frac{a\, z_{1}+b}{c\, z_{1}+d},\, z_{2}=\frac{a\, z_{2}+b}{c\, z_{2}+d},\, z_{4}=\frac{a\, z_{3}+b}{c\, z_{3}+d}$, qui fournit 3 équations linéaires en $a,\, b,\, c,\, d$ (ces nombres sont connus à un facteur près). Il est commode de choisir $c=1$. Après quelques calculs, on trouve $a=1-2i,\, b=-2,\, d=-1-2i$.
   2. Une bien meilleure méthode consiste à écrire que le birapport se conserve. On a donc $\beta \left( z_{1},\, z_{2},\, z_{3},\, z\right) =\beta \left( z_{1},\, z_{2},\, z_{4},\, \phi \left( z\right) \right)$. D'où $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}\div \frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\div \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}$ et donc $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{1}{3}$ puisque $\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}\div \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}=\frac{1}{3}$. Il vient :
      $$\phi \left( z\right) =\frac{\left( 1-2i\right) \, z-2}{z-\left( 1+2i\right) }$$

4. Calculer $z_{5}=\phi \left( z_{4}\right)$ et $z_{6}=\phi \left( z_{5}\right)$. Comment se placent ces points ?
   1. On trouve $$z_{5}=\frac{16}{25}-\frac{38}{25}i$$ et $$z_{6}=\frac{286}{313}-\frac{362}{313}i$$.
   2. Tous les points $z_{n}$ sont sur le même cercle. En effet $z_{1}\cdots z_{4}$ sont cocycliques. Donc $z_{2}\cdots z_{5}$ sont cocycliques à leur tour. Mais ces deux cycles ont trois points distincts en commun : ils sont identiques. Et ainsi de suite.
5. Déterminer la limite de la suite $\left( \phi ^{n}\right) \left( z_{3}\right)$.
   1. La relation $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{1}{3}$ montre que $\frac{z_{n}-z_{2}}{z_{n}-z_{1}}$ tend vers $0$. Par conséquent $z_{n}\rightarrow z_{2}$.
   2. Autre présentation : les points $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les points fixes de $\phi$ et on a $\phi '\left( z_{1}\right) =3$ et $\phi '\left( z_{2}\right) =\frac{1}{3}$. Cela redonne $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{1}{3}$ et on conclut.
   3. La Fig. 2 montre le placement des points $z_{n}$.

Figure 2: Les points $z_{n}$

3 Une famille de cycles

On considère les cercles $\gamma$ passant par $a=1+i$ et dont le centre est sur la droite réelle.

1. Donner l'équation du cercle $\gamma$ en fonction de l'abscisse $\omega$ de son centre.
   1. Le rayon $\rho$ d'un tel cercle est donné par $\rho ^{2}=\left( 1-\omega \right) ^{2}+\left( 1-0\right) ^{2}=\omega ^{2}-2\omega +2$
   2. L'équation du cercle $\gamma$ est donc $\left( x-\omega \right) ^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$, soit $x^{2}+y^{2}-2\, \omega \, x+2\, \omega -2=0$.
2. On se donne $\omega _{1}$. Examiner l'existence et l'unicité d'un réel $\omega _{2}$ tel que les cycles correspondants $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$ soient orthogonaux.
   1. Résultat général : les cercles $\left( \omega _{1},\, \rho _{1}\right)$ et $\left( \omega _{2},\, \rho _{2}\right)$ sont orthogonaux si et seulement si le triangle formé par les deux centres et l'un des points communs est rectangle, c'est à dire si $\left\vert \omega _{1}-\omega _{2}\right\vert ^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}$.
   2. Appliqué au problème en cours, cette équation donne $\left( \omega 1-\omega 2\right) ^{2}=\omega _{1}^{2}-2\omega _{1}+2+\omega _{2}^{2}-2\omega _{2}+2$, soit $\left( \omega _{1}-1\right) \, \left( \omega _{2}-1\right) =-1$.
   3. Il y a donc existence et unicité du cycle associé $\gamma _{2}$, mais ce cycle est une droite dans le cas où le cycle $\gamma _{1}$ est le cercle correspondant à $\omega _{1}=1$.
3. On considère l'homographie $h$ définie par $h\left( z\right) =\frac{z-1-i}{z-1+i}$. Que valent $h\left( 0\right)$, $h\left( 1\right)$, $h\left( 2\right)$, $h\left( 2+\sqrt{2}\right)$ ? Quel est le cycle $h(\mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\} )$ ? Quel est le cycle $h\left( \mathbb{U}\right)$ ?
   1. On trouve $h\left( 0\right) =\frac{-1-i}{-1+i}=i$, $h\left( 1\right) =\frac{-i}{+i}=-1$, $h\left( 2\right) =\frac{1-i}{1+i}=-i$ et $h\left( 2+\sqrt{2}\right) =\sqrt{\frac{1}{2}}\left( 1-i\right)$.
   2. Le cycle $h(\mathbb{R}\cup \left\{ \infty \right\} )$ passe par les points $i,\, -1,\, -i$. Il s'agit donc du cercle trigonométrique.
   3. Méthode algébrique (=déconseillée) pour le calcul de $h\left( \mathbb{U}\right)$. On paramétrise le cercle par $t=\tan \left( \theta /2\right)$ et on pose $h\left( z\right) =\xi +i\, \eta$. Il vient $\xi +i\, \eta =\frac{1-t^{2}+2i\, t+\left( -1-I\right) \left( 1+t^{2}\right) }{1-t^{2}++2i\, t+\left( -1+I\right) \left( 1+t^{2}\right) }$ et donc $\xi =\frac{3\, t^{2}-1}{5\, t^{2}+4\, t+1},\; \eta =\frac{4\, t^{2}}{5\, t^{2}+4\, t+1}$
      Par élimination, $\frac{1}{5\, t^{2}+4\, t+1}=-\xi +\frac{3}{4}\, \eta$, puis $t^{2}=\frac{\eta }{3\, \eta -4\, \xi }$, puis $t=\frac{\xi -2\, \eta +1}{3\, \eta -4\, \xi }$.
      En reportant, on trouve $\xi ^{2}+\eta ^{2}+2\, \xi -4\, \eta +1=0$, qui se réécrit en $\left( \xi +1\right) ^{2}+\left( \eta -2\right) ^{2}=4$
   4. Méthode analytique. Si $z,\, 1,\, -1,\, i$ sont cocycliques, alors $\zeta =h\left( z\right) ,\, h\left( 1\right) ,\, h\left( -1\right) ,\, h\left( i\right)$ le sont aussi. On trouve que $h\left( 1\right) =-1$, $$h\left( -1\right) =\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$ et $$h\left( i\right) =\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$. On écrit la relation de cocyclicité sous forme d'un déterminant. Il y a deux façons de faire, qui conduisent évidemment au même résultat. L'équation de $h\left( \mathbb{U}\right)$ est donc :
      $$\left\vert \begin{array}{cccr} \left\vert \zeta \right\vert ^{2} ... ...ight\vert =-\frac{16}{25}i\, \left( \xi ^{2}+\eta ^{2}-4\eta +2\xi +1\right) =0$$
      $$\left\vert \begin{array}{cccr} \xi ^{2}+\eta ^{2} & \xi & \eta & ... ...\right\vert =-\frac{8}{25}\, \left( \xi ^{2}+\eta ^{2}-4\eta +2\xi +1\right) =0$$

   5. Méthode géométrique. Le cercle $\mathbb{U}$ est tangent à la droite $\Delta _{1}$ d'équation $x=1$ et à la droite $\Delta _{2}$ d'équation $y=-1$. Or ces deux droites contiennent le point $1-i$. Donc leurs images contiennent $h\left( 1-i\right) =\infty$ : ce sont à nouveau des droites. Elles passent par $h\left( \infty \right) =1$. Comme $\Delta _{2}$ est parallèle à $\mathbb{R}$, $h\left( \Delta _{2}\right)$ est tangente à $h\left( \mathbb{R}\right)$ : c'est la verticale $\xi =1$. Par orthogonalité, $h\left( \Delta _{1}\right)$ est l'horizontale $\eta =0$.
      Le cercle $h\left( \mathbb{U}\right)$ est donc tangent aux droites $h\left( \Delta _{1}\right)$ et $h\left( \Delta _{2}\right)$. Comme il passe par $h\left( 1\right) =-1$, ce cercle est complètement déterminé (cf Fig. 3).

   Figure: Image du cercle trigonométrique.

4. Quelle est l'image du cycle $\gamma$ de centre $\omega$ donné ? En particulier l'image $\delta _{1}$ de $\gamma _{1}$ correspondant à $\omega _{1}=0$ et l'image $\delta _{2}$ de $\gamma _{2}$ correspondant à $\omega _{2}=2$.
   1. Tous ces cercles $\gamma$ passent par $1+i$ et par $1-i$. Leurs images passent donc par $h\left( 1+i\right) =0$ et par $h\left( 1-i\right) =\infty$ : ce sont des droites $\delta$ passant par l'origine.
   2. Pour déterminer leur pente $\tan \theta$, le plus simple est de considérer l'intersection de $\delta$ avec $\mathbb{U}$. Les deux points de $\delta \cap \mathbb{U}$ sont les images de $\gamma \cap \mathbb{R}$ qui sont $\omega +\rho$ et $\omega -\rho$.
   3. Quelques calculs conduisent à $h\left( \omega +\rho \right) =\frac{\left( \omega -1\right) -i}{\rho }$, d'où $\tan \theta =\frac{1}{1-\omega }$.
   4. Une vérification : lorsque $\delta _{1}$ et $\delta _{2}$ sont perpendiculaires, on a $\tan \theta _{1}\, \tan \theta _{2}=-1$ et donc $\left( 1-\omega _{1}\right) \left( 1-\omega _{2}\right) =-1$, condition d'orthogonalité de $\gamma _{1}$ et $\gamma _{2}$.

   Figure 4: Le faisceau de cercles devient un faisceau de droites.

5. Déterminer quel est le cycle $\Gamma$ tel que $h\left( \Gamma \right)$ soit le cercle $\left\vert \zeta \right\vert =3$.

   Figure 5: Cercles de Poncelet.

   1. Le cycle $h\left( \Gamma \right)$ est orthogonal à la droite $\mathbb{R}=h\left( 1+i\, \mathbb{R}\right)$. Donc le cycle $\Gamma$ est orthogonal à la droite $1+i\, \mathbb{R}$ qui est donc un de ses diamètres. Il suffit donc de déterminer $h^{-1}\left( 3\right)$ et $h^{-1}\left( -3\right)$.
   2. Les formules usuelles donnent $h^{-1}\left( \zeta \right) =\frac{\left( 1-i\right) \zeta -\left( 1+i\right) }{\zeta -1}$ , d'où $h\left( 3\right) =1-2i$ et $h\left( -3\right) =1-\frac{1}{2}i$, et le centre est $1-\frac{5}{4}i$.
   3. On peut aussi déterminer $\Gamma$ par trois points (méthode générale). En utilisant $\zeta =3,\, -3,\, 3i$ on obtient $\left\vert \begin{array}{cccr} \left\vert z\right\vert ^{2} & x & y & 1\\ 5 ... ...}\right\vert =\frac{9}{10}\left( x^{2}+y^{2}+\frac{5}{2}\, y-2\, x+2\right) =0$, qui redonne le cercle $\left( x-1\right) ^{2}+\left( y+\frac{5}{4}\right) ^{2}=\frac{9}{16}$.