Ensait - A1 - Variable Complexe

Date: Corrigé du DS - durée 2 h00

1 Équation à coefficients complexes

On considère l'équation $z^{2}+(1-i) z+a=0$ l'inconnue étant $z$ et $a$ étant un paramètre.

1. Déterminer $a$ pour que $z_{1}=2+i$ soit racine. Quelle est alors l'autre racine ?
   1. La substitution donne $\left( 2+i\right) ^{2}+\left( 1-i\right) \left( 2+i\right) +a=0$, qui conduit à $a=-6-3i$.
   2. La deuxième racine est $z_{2}=-\frac{B}{A}-z_{1}=-3$. On vérifie que $z_{1} z_{2}=\frac{C}{A}$.
2. Déterminer $a$ pour que l'équation ait une racine double. Quelle est alors cette racine ?
   1. Le discriminant est $\Delta =B^{2}-4A C=-4a-2i$ qui est nul pour $a=-\frac{1}{2}i$.
   2. La racine vaut alors $-\frac{B}{2A}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$.
3. Résoudre pour $a=6+17 i$.
   1. On a $\Delta =-4a-2i=-24-70i$, et l'on a donc $\left\vert \Delta \right\vert =\sqrt{24^{2}+70^{2}}=74$.
   2. Les racines carrées d'un nombre complexe $\zeta$ sont données par la formule $\pm \frac{\zeta +\rho }{\left\vert \zeta +\rho \right\vert }\sqrt{\rho }$. Ici, $u\left( 50-70i\right) \sqrt{74}=u\left( 5-7i\right) \sqrt{74}=5-7i$.
   3. Finalement, les racines de l'équation sont
      $\frac{1}{2}\left( -1+i+5-7i\right) =2-3i$ et $\frac{1}{2}\left( -1+i-5+7i\right) =-3+4i$

2 Une récurrence

On considère les points $z_{1}=1+2i$, $z_{2}=1-2i$, $z_{3}=-3i$. Une figure est EXIGÉE. Reporter les résultats au fur et à mesure.

1. Déterminer si les points $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}=-4-3i$ sont cocycliques (utiliser un birapport).
   1. Par définition, $\beta \left( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right) =\frac{\left( z_{4}-z_{2}... ... z_{3}-z_{1}\right) }{\left( z_{4}-z_{1}\right) \left( z_{3}-z_{2}\right) }$. On trouve $\beta \left( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right) =\frac{13}{5}$ : les points sont cocycliques.
2. Donner l'équation du cycle $\Gamma$ déterminé par les points $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ (décrire la méthode utilisée). Vérifier qu'il s'agit d'un cercle. En déterminer le centre et le rayon.
   1. Première méthode : on calcule $\beta \left( z_{1}, z_{2}, z_{3}, x+i y\right)$ et on écrit que sa partie imaginaire est nulle. Il vient $x^{2}+y^{2}+4 x-9=0$.
   2. Deuxième méthode : on écrit que les quantités $\left[ x^{2}+y^{2}, x, y, 1\right]$ pour les trois points fixes et le point courant du cercle sont liées, et donc que leur déterminant est nul, soit $\left\vert \begin{array}{cccr} x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\ 5 & 1 & 2 & 1\\ 5 & 1 & -2 & 1\\ 9 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right\vert =0$. On retrouve $x^{2}+y^{2}+4 x-9=0$.
   3. On a effectivement un cercle (autrement dit les points ne sont pas alignés) parce que le coefficient de $x^{2}+y^{2}$ est non nul.
   4. Le centre et le rayon s'obtiennent en transformant l'équation en $\left( x+2\right) ^{2}+y^{2}=13$ : le centre est $\left( -2, 0\right)$ et le rayon $\sqrt{13}$.
3. Déterminer l'homographie $\phi$ caractérisée par $\phi \left( z_{1}\right) =z_{1}$, $\phi \left( z_{2}\right) =z_{2}$, $\phi \left( z_{3}\right) =z_{4}$.
   1. Coefficient indéterminés : on pose $\phi \left( z\right) =\frac{a z+b}{c z+d}$. On a donc $z_{1}=\frac{a z_{1}+b}{c z_{1}+d}, z_{2}=\frac{a z_{2}+b}{c z_{2}+d}, z_{4}=\frac{a z_{3}+b}{c z_{3}+d}$, qui fournit 3 équations linéaires en $a, b, c, d$ (ces nombres sont connus à un facteur près). Il est commode de choisir $c=1$. Après quelques calculs, on trouve $a=1+\frac{9}{2}i, b=-5, d=-1+\frac{9}{2}i$.
   2. Une bien meilleure méthode consiste à écrire que le birapport se conserve. On a donc $\beta \left( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z\right) =\beta \left( z_{1}, z_{2}, z_{4}, \phi \left( z\right) \right)$. D'où $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}\div \frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\div \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}$ et donc $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{13}{5}$ puisque $\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}\div \frac{z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}=\frac{13}{5}$. Il vient :
      $$\phi \left( z\right) =\frac{\left( 1+\frac{9}{2}i\right) z-5}{z-\left( 1-\frac{9}{2}i\right) }$$

4. Calculer des valeurs approchées de $z_{5}=\phi \left( z_{4}\right)$ et $z_{6}=\phi \left( z_{5}\right)$ et placer ces points.
   1. On trouve $$z_{5}=-\frac{216}{109}-\frac{393}{109}i\approx -1.98+3.61i$$ et $$z_{6}=\frac{11396}{32521}-\frac{88917}{32521}i\approx 0.35+2.73i$$.
   2. Tous les points $z_{n}$ sont sur le même cercle. En effet $z_{1}\cdots z_{4}$ sont cocycliques. Donc $z_{2}\cdots z_{5}$ sont cocycliques à leur tour. Mais ces deux cycles ont trois points distincts en commun : ils sont identiques. Et ainsi de suite.

   Figure 1: Les points $z_{n}$

   

5. Déterminer la limite de la suite $\left( \phi ^{n}\right) \left( z_{3}\right)$.
   1. La relation $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{13}{5}$ montre que $\frac{z_{n}-z_{2}}{z_{n}-z_{1}}$ tend vers $\infty$. Par conséquent $z_{n}\rightarrow z_{1}$.
   2. Autre présentation : les points $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les points fixes de $\phi$ et on a $\phi '\left( z_{1}\right) =\frac{5}{13}$ et $\phi '\left( z_{2}\right) =\frac{13}{5}$. Cela redonne $\frac{\phi \left( z\right) -z_{2}}{\phi \left( z\right) -z_{1}}=\frac{z-z_{2}}{z-z_{1}}\times \frac{13}{5}$ et on conclut.
   3. La Fig. 1 montre le placement des points $z_{n}$.

3 Une famille de cycles

Une représentation graphique est EXIGÉE. On donnera un croquis de ce qui se passe dans le plan des $z$, puis dans le plan des $\zeta$. Dans ce problème, la lettre $a$ désigne un paramètre réel et $\Gamma _{a}$ désigne le cercle ayant pour équation :

$$x^{2}+y^{2}-2a x-2a y+2a-1=0$$

1. Donner, en fonction de $a$, les coordonnées du centre du cercle $\Gamma _{a}$ ainsi que son rayon.
   1. L'équation donnée se réécrit en english $\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-a\right) ^{2}=1-2 a+2 a^{2}$.
   2. Le centre est donc le point $\omega \left( a, a\right)$ et le rayon vaut $\rho =\sqrt{1-2 a+2 a^{2}}$
2. Montrer que les cercles $\Gamma _{+1}$ et $\Gamma _{-1}$ correspondant aux valeurs $+1$ et $-1$ du paramètre $a$ se coupent en deux points A et B, dont on déterminera les coordonnées. Montrer que tous les cercles $\Gamma _{a}$ passent par ces deux points.
   1. On résout le système $\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}+y^{2}-2x-2y+1 & = & 0\\ x^{2}+y^{2}+2x+2y-3 & = & 0 \end{array}\right.$. D'où, par soustraction, $x+y=1$ qui est l'équation de la corde commune aux deux cercles. Puis $2x y=\left( x+y\right) ^{2}-2\left( x+y\right) +1=0$. Les points cherchés sont donc $A\left( 1, 0\right)$ et $B\left( 0, 1\right)$.
   2. On reporte ces valeurs dans l'équation de $\Gamma _{a}$ et l'on trouve une expression identiquement nulle (c'est à dire nulle pour toute valeur du paramètre). On en conclut que la famille étudiée se compose des cercles passant par $A$ et $B$.
3. On se donne une valeur $a$ du paramètre. Examiner l'existence et l'unicité d'un réel $b$ tel que les cycles $\Gamma _{a}$ et $\Gamma _{b}$ soient orthogonaux.
   1. On sait que les cercles $\left( \omega _{1}, \rho _{1}\right)$ et $\left( \omega _{2}, \rho _{2}\right)$ sont orthogonaux si et seulement si le triangle formé par les deux centres et l'un des points communs est rectangle, c'est à dire si $\overrightarrow{\omega _{1}-\omega _{2}}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}$.
   2. Appliqué au problème en cours, cette équation donne $2\left( a-b\right) ^{2}=\rho _{a}^{2}+\rho _{b}^{2}$, soit $\left( 2a-1\right) \left( 2b-1\right) =-1$.
   3. Il y a donc existence et unicité du cycle associé $\Gamma _{b}$, mais ce cycle est la droite $\left( AB\right)$ dans le cas où le cycle $\Gamma _{a}$ est le cercle de diamètre $\left[ A, B\right]$ (cette situation correspond à $a=1/2$ et $b=\infty$).
4. On considère l'homographie $h$ définie par :
   $$\zeta =h\left( z\right) =\frac{z-1}{z-i}$$
   Quelle est l'image de l'axe réel ? de l'axe imaginaire ? de la droite $x+y=1$, de la droite $x=y$ ?
   1. On obtient facilement que $h\left( 0\right) =-i$.
   2. L'axe imaginaire est le cycle caractérisé par les points $0, i, \infty$. Son image est donc le cycle caractérisé par les points $-i, \infty , 1$ c'est à dire la droite passant par les points $1$ et $-i$. Son équation est $y=x-1$.
   3. L'axe réel est le cycle caractérisé par $0, 1, \infty$. Son image est le cycle caractérisée par les points $-i, 0, 1$, c'est à dire le cercle admettant pour diamètre le segment $\left[ \left( 1,0\right) , \left( 0, -1\right) \right]$ . On vérifie que ce cercle est orthogonal à la droite (3.4.b).
   4. La droite $x+y=1$ est le cycle caractérisé par $1, i, \infty$. Son image est caractérisée par $0, \infty , 1$ : c'est l'axe réel. On vérifie que cette droite fait un angle de 45$°$ à la fois par rapport à la droite (3.4.b) et au cercle (3.4.c).
   5. La droite $x=y$ est caractérisée par les points $0$, $\infty$ et par son orthogonalité avec la droite $x+y=1$. Son image est donc caractérisée par les points $-i, 1$ et par son orthogonalité avec l'axe réel : c'est donc le cercle trigonométrique.

   Figure 2: Images de quatre droites remarquables.

5. Quelle est, en fonction du paramètre $a$, l'image du cycle $\Gamma _{a}$ ? En particulier, quelle est l'image $\Delta _{1}$ du cercle $\Gamma _{1}$ correspondant à $a=1$ et l'image $\Delta _{0}$ du cercle $\Gamma _{0}$ à $a=0$ ?
   1. L'image de $\Gamma _{a}$ contient $h\left( 1\right) =0$ et $h\left( i\right) =\infty$. C'est donc une droite passant par l'origine. Le mieux à faire pour déterminer son orientation est de trouver l'une de ses deux intersections $\mu$ avec le cercle trigonométrique.
   2. Ce point $\mu$ est l'image de l'intersection $m$ de $\Gamma _{a}$ avec la droite $x=y$. Ce point $m$ a pour coordonnées $x=y=a+\rho \frac{\sqrt{2}}{2}$ (on pourrait aussi faire le calcul avec $x=y=a-\rho \frac{\sqrt{2}}{2}$).
   3. On calcule donc $h\left( \left( 1+i\right) \left( a-\rho \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) =$ $\frac{\left( 1+I\right) \left( a+\frac{1}{2} \rho \sqrt{2}\right) -1}{\left( 1+I\right) \left( a+\frac{1}{2} \rho \sqrt{2}\right) -I}$. Cette expression se réécrit en : $reel\times \left( \left( 2 a+\rho \sqrt{2}-2\right) \left( 2 a+\rho \sqrt{2}\right) +2i\left( 2 a+\rho \sqrt{2}-1\right) \right)$. D'où $\tan \theta =\frac{4a+2\rho \sqrt{2}-2}{\left( 2a+\rho \sqrt{2}-2\right) \left( 2a+\rho \sqrt{2}\right) }$. En remplaçant $\rho$ par sa valeur, on obtient $\tan \theta =\frac{1}{2 a-1}$. En particulier $\tan \theta _{1}=1$ pour $a=1$ et $\tan \theta _{0}=-1$ pour $a=0$.
   4. Ces angles de 45$°$ s'obtiennent directement en remarquant que $\Gamma _{1}$ est tangent à l'axe imaginaire. Par conséquent la droite $h\left( \Gamma _{1}\right)$ fait un angle nul avec la droite $h\left( i\mathbb{R}\right)$ : elles sont parallèles.

   Figure 3: Image du faisceau de cercles.

6. Déterminer le cycle $\gamma$ tel que $h\left( \gamma \right)$ soit le cercle de rayon $2$ centré sur l'origine.
   1. Le cercle $h\left( \gamma \right)$ est orthogonal à toutes les droites issues de l'origine. Donc $\gamma$ est orthogonal à tous les cercles $\Gamma _{a}$. C'est donc un cercle de Poncelet relatif aux points $A$ et $B$.
   2. Le plus simple est de le déterminer par son diamètre porté par la droite $\left( A B\right)$, c'est à dire par les images réciproques des points $2$ et $-2$, qui sont les intersections de $\gamma$ et de $\mathbb{R}=h\left( \left( AB\right) \right)$.
   3. On résout $h\left( z_{1}\right) =2$ et $h\left( z_{2}\right) =-2$. On trouve $z_{1}=-1+2i$, $z_{2}=\frac{1}{3}\left( 1+2i\right)$ : le centre de ce cercle est donc $\frac{1}{3}\left( -1+4i\right)$ et le rayon $\frac{1}{3}\sqrt{8}$.

   Figure 4: Transformation inverse, donnant les cercles de Poncelet.

4 Séries génératrices

1. Rappeler quelles sont les séries génératrices associées aux suites $u_{n}=1$ et $u_{n}=n$. On les notera respectivement $S\left( 1\right) \left( z\right)$ et $S\left( n\right) \left( z\right)$.
   1. On a $$S\left( 1\right) \left( z\right) =\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}=\frac{1}{1-z}$$ et $$S\left( n\right) \left( z\right) =\sum _{k=0}^{\infty }k z^{k}=\frac{z}{\left( 1-z\right) ^{2}}$$.
2. Déterminer la série génératrice associée à la suite $u_{n}=\left( -1\right) ^{n}$, c'est à dire la suite $1, -1, 1, -1, 1, -1, \cdots$. Conformément aux notations introduites dans le cours, cette série sera notée $S\left( n\mapsto \left( -1\right) ^{n}\right) (z)$.
   1. Il suffit d'écrire les définitions pour obtenir : $$S\left( \left( -1\right) ^{n}\right) \left( z\right) =\sum _{k=0}^{\infty }\left( -1\right) ^{k}z^{k}=\frac{1}{1+z}$$.
   2. Cette série s'obtient en changeant $z$ en $-z$ dans la série $S\left( 1\right) \left( z\right)$.
3. En déduire la série génératrice associée à la suite $u_{n}=n\left( -1\right) ^{n}$, c'est à dire la suite $0, -1, 2, -3, 4, \cdots$
   1. Par les théorèmes généraux, on a $S\left( n\left( -1\right) ^{n}\right) \left( z\right) =z\frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d} z ^{ }}\frac{1}{1+z}=\frac{-z}{\left( 1+z\right) ^{2}}$.
   2. La remarque du (4.2.a) conduit au même résultat.
4. En déduire la série génératrice $\mathbf{S}$ associée à la suite $0, 0, 2, 0, 4, 0, 6, \cdots$, c'est à dire la suite définie par $u_{2n}=2n$ et $u_{2n+1}=0$. Comparer avec la suite $S\left( n\right) \left( z\right)$.
   1. La suite proposée est la moyenne entre les suites $n\rightarrow n$ et $n\rightarrow n\left( -1\right) ^{n}$.
   2. On a donc $\mathbf{S}=\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\left( 1-z\right) ^{2}}+\frac{-z}{\left( 1+z\right) ^{2}}\right) =\frac{2 z^{2}}{\left( 1-z^{2}\right) ^{2}}$.
   3. Cette expression est, comme il se doit, le double de $S\left( n\right) \left( z^{2}\right)$.

5 Complément sur les suites homographiques

Pour simplifier les calculs et les figures, les données du problème sur les suites récurrentes homographiques ont été choisies pour que les points de la suite $z_{n}$ soient cocycliques. Dans le cas général, cette relation n'a pas lieu. Le but de ce complément est de montrer ce qui se passe dans le cas général. Appelons $\lambda$ et $\mu$ les points fixes.

1. La relation $\beta \left( \lambda , \mu , z, h\left( z\right) \right) =\phi '\left( \mu \right) =\frac{c \lambda +d}{c \mu +d}$ est valable pour tout $z\in \overline{\mathbb{C}}$.
2. La relation $\frac{\phi \left( z\right) -\mu }{\phi \left( z\right) -\lambda }=\frac{z-\mu }{z-\lambda }\times \phi '\left( \mu \right)$, c'est à dire $\widehat{\phi }\left( \zeta \right) =\zeta \times \phi '\left( \mu \right)$, montre que les points $\zeta _{n}$ viennent se placer sur une spirale (parcourue de façon centrifuge, c'est à dire $\zeta \rightarrow \infty$, si $\left\vert \phi '\left( \mu \right) \right\vert >1$, et de façon centripète, c'est à dire $\zeta \rightarrow 0$, si $\left\vert \phi '\left( \mu \right) \right\vert <1$).
3. En posant $\phi '\left( \mu \right) =k\exp i \theta$, on a en effet $\zeta _{n}=\zeta _{0}\times k^{n}\times \exp i n \theta$. Dans cette relation, les $n\in \mathbb{N}$ donnent les points de la suite, les $n\in -\mathbb{N}$ donnent les points de la suite obtenue en utilisant l'homographie réciproque de $h$, et $n\in \mathbb{R}$ donne les points de la spirale.
4. En revenant au plan des $z$, la spirale (du plan des $\zeta$) se transforme en une courbe en hippocampe, ayant un aspect de spirale au voisinage de $\mu$, un aspect de spirale (tournant dans l'autre sens) au voisinage de $\lambda$, et un raccord (point d'inflexion) quelque part entre les deux.

   Figure 5: Spirale dans le plan des $\zeta$, hippocampe dans le plan des $z$.