Ensait - A1 - Variable Complexe

Date: Projet de DS (partie)

Tous documents autorisés, ainsi que les calculettes conformes aux règlements usuels.
Le sujet comporte une page.

1 Équation à coefficients complexes

On considère l'équation $z^{2}+(1-i)\, z+a=0$ l'inconnue étant $z$ et $a$ étant un paramètre.

1. Déterminer $a$ pour que $z_{1}=2+i$ soit racine. Quelle est alors l'autre racine ?
2. Déterminer $a$ pour que l'équation ait une racine double. Quelle est alors cette racine ?
3. Résoudre pour $a=6+17\, i$.

2 Une famille de cycles

Une représentation graphique est EXIGÉE. On donnera un croquis de ce qui se passe dans le plan des $z$, et un autre croquis pour le plan des $\zeta$.

1. On considère l'homographie $h$ définie par :
   $$\zeta =h\left(z\right)=\frac{z-1}{z-i}$$
   Quelle est l'image de la droite $x+y=1$, de la droite $x=y$ ?
2. Quelle est, en fonction du paramètre $b$, l'image de la droite $\mathbb{R}+b\, i$ ?
3. Quelle est, en fonction du paramètre $a$, l'image de la droite $a+i\, \mathbb{R}$ ?

3 Une récurrence

On considère les points $z_{1}=1+2i$, $z_{2}=1-2i$, $z_{3}=-3i$. Une figure est EXIGÉE. Reporter les résultats au fur et à mesure.

1. Déterminer si les points $z_{1},\, z_{2},\, z_{3}$ et $z_{4}=-4-3i$ sont cocycliques (utiliser un birapport).
2. Donner l'équation du cycle $\Gamma$ déterminé par les points $z_{1},\, z_{2},\, z_{3}$ (décrire la méthode utilisée). Vérifier qu'il s'agit d'un cercle. En déterminer le centre et le rayon.
3. Déterminer l'homographie $\phi$ caractérisée par $\phi \left(z_{1}\right)=z_{1}$, $\phi \left(z_{2}\right)=z_{2}$, $\phi \left(z_{3}\right)=z_{4}$.
4. Calculer des valeurs approchées de $z_{5}=\phi \left(z_{4}\right)$ et $z_{6}=\phi \left(z_{5}\right)$. Comment se placent ces points ?
5. Déterminer la limite de la suite $\left(\phi ^{n}\right)\left(z_{3}\right)$.