Ensait - E1 - Algèbre linéaire et variable complexe

Date: DS du 23/05/2003

Tous documents autorisés, ainsi que les calculettes conformes aux règlements usuels.
Le sujet comporte deux pages.

1 Calculs élémentaires

1. On pose et . Calculer , , et .
2. On pose . Calculer . Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de ?

2 Matrice d'impédance

On considère le circuit électrique ci-dessous (les résistances valent 9, 3, 6, 2, 2 ohms) :

1. Ecrire la matrice d'impédance de ce circuit.
2. Calculer la matrice inverse de .
3. Déterminer les valeurs propres de .
4. Dessiner les schémas correspondant à chaque valeur propre (reporter les valeurs numériques des potentiels et courants, en donnant le potentiel 0 au point en bas à gauche).

.../...

3 Équations à coefficients complexes

On considère l'équation l'inconnue étant et étant un paramètre.

1. Déterminer pour que soit racine. Quelle est alors l'autre racine ?
2. Déterminer pour que l'équation ait une racine double. Quelle est alors cette racine ?
3. Résoudre pour .

4 Une famille de cycles

Une représentation graphique est EXIGÉE. On donnera un croquis de ce qui se passe dans le plan des , et un autre croquis pour le plan des . On considère l'homographie définie par :

1. On considère les points , et . Déterminer, par la méthode des déterminants, l'équation du cercle passant par .
2. Calculer les points , et . Déterminer, par la méthode des déterminants, l'équation du cycle passant par les points .
3. Quelle est l'image par de la droite , de la droite ?
4. Que voit-on sur le dessin ? Expliquer pourquoi.

5 Une récurrence

On considère les points , , , .

1. Déterminer si les points sont cocycliques (utiliser un birapport).
2. Déterminer l'homographie caractérisée par , , .
3. Déterminer la limite de la suite .