Ensait - A1 - Variable Complexe

Date: Corrigé du DS du 26 mai 2003

Équations à coefficients complexes

On considère l'équation $z^{2}-(1-3\, i)\, z+a=0$ l'inconnue étant $z$ et $a$ étant un paramètre.

1. Déterminer $a$ pour que $z_{1}=2-i$ soit racine. Quelle est alors l'autre racine ?
   1. On reporte $z=2-i$ dans l'équation et on trouve $a=-4-3\, i$.
   2. L'autre racine s'obtient par $z_{1}+z_{2}=-B/A$. Il vient $z_{2}=-1-2\, i$.
2. Déterminer $a$ pour que l'équation ait une racine double. Quelle est alors cette racine ?
   1. On calcule le discriminant $B^{2}-4A\, C=-4\, a-8-6\, i$. Il y a une racine double lorsque ce discriminant est nul, soit $a=-2-\frac{3}{2}\, i$.
   2. La racine double vaut alors $z=-B/2A=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\, i$.
3. Résoudre pour $a=-8-4\, i$.
   1. L'équation devient $z^{2}-\left(1-3\, i\right)\, z-8-4\, i$. Son discriminant est $\Delta =24+10\, i$ et on trouve aisément que $\Delta =\left(5+i\right)^{2}$.
   2. Les racines sont donc $3-i,\, -2-2\, i$.

Une récurrence

On considère l'homographie $h$ définie par :

$$\zeta =h\left(z\right)=\frac{2\, z+1-i}{-z+3}$$

ainsi que les points obtenus par la récurrence $z_{0}=\displaystyle {}\frac{8+9i}{7}$, $z_{n+1}=h\left(z_{n}\right)$.

1. Compléter le tableau en calculant les valeurs de $z_{6}$ à $z_{9}$, ainsi que $z_{13}$ :
   $$\begin{array}{ccccccccccccc} z_{0} & z_{1} & z_{2} & z_{3} ... ...rac{-7-11i}{17} & \frac{-3-27i}{41} & \frac{1-7i}{9}\end{array}$$
   On trouve
   $$z_{6}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\, i,\, z_{7}=2-2\, i,\, z_{8}=-1-3\, i,\, z_{9}=-1-i,\, z_{13}=\frac{5}{29}-\frac{27}{29}\, i$$

2. Montrer que $z_{1},\, z_{5},\, z_{9},\, z_{13}$ sont cocycliques (utiliser un birapport).
   1. On rappelle que $\beta \left(a,\, b,\, c,\, d\right)=\left(\left(d-b\right)\left(c-a\right)\right)\div \left(\left(d-a\right)\left(c-b\right)\right)$. Ici, $\beta =9/13$.
   2. On sait que des points sont cocycliques si et seulement si les birapports sont réels. Tel est bien le cas.
3. En déduire que les points $z_{0},\, z_{4},\, z_{8},\, z_{12}$ sont cocycliques. Quelle est l'équation de ce cycle ?
   1. Comme les homographies conservent le birapport, $\beta \left(z_{0},\, z_{4},\, z_{8},\, z_{12}\right)$ est réel lui aussi.
   2. La figure montre que ces points sont alignés sur la droite $\gamma _{0}\, \equiv \, -2x+y+1=0$.
   3. Les amateurs de calcul pouvaient aussi calculer $\det \left(\begin{array}{cccr} 145/49 & 8/7 & 9/7 & 1\\ 5/9 & 2/3 & 1/3 & 1\\ 10 & -1 & -3 & 1\\ x^{2}+y^{2} & x & y & 1\end{array}\right)$.
4. Généraliser les résultats obtenus à l'ensemble des points $z_{n}$. Donner les équations de tous les cycles concernés.
   1. Par récurrence, ces points $z_{n}$ se placent alternativement sur quatre cercles.
   2. L'équation de $\gamma _{1}$ est $\det \left(\begin{array}{cccr} 13/5 & 4/5 & 7/5 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & -1 & 1\\ x^{2}+y^{2} & x & y & 1\end{array}\right)$, soit $\gamma _{1}\, \equiv \, y^{2}+x^{2}-y+x-2=0$.
   3. Celle de $\gamma _{2}$ est $\det \left(\begin{array}{cccr} 25/17 & 8/17 & 19/17 & 1\\ 5/2 & 3/2 & -1/2 & 1\\ 10/17 & -7/17 & -11/17 & 1\\ x^{2}+y^{2} & x & y & 1\end{array}\right)$, soit $\gamma _{2}\, \equiv \, y^{2}+x^{2}-x-1=0$.
   4. Enfin, celle de $\gamma _{3}$ est $\det \left(\begin{array}{cccr} 9 & 6 & 9 & 13\\ 8 & 2 & -2 & 1\\ 18 & -3 & -27 & 41\\ x^{2}+y^{2} & x & y & 1\end{array}\right)$, soit $\gamma _{3}\, \equiv \, y^{2}+x^{2}+y-3\, x=0$.
   5. On constate que tous ces cercles passent par les mêmes deux points, qui sont les points fixes de $h$, c'est à dire les solutions de $h\left(z\right)=z$.
5. Montrer que la suite $z_{n}$ admet une limite pour $n\rightarrow \infty$ et déterminer cette limite.
   1. C'est une question de cours. Comme il y a deux points fixes : $\lambda =-i,\, \mu =1+i$, on calcule $h'\left(z\right)=\frac{7-i}{\left(z-3\right)^{2}}$ en chacun de ces deux points.
   2. On trouve $h'\left(\lambda \right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\, i$ qui est de module inférieur à $1$ : on a donc $z_{n}\rightarrow \lambda$.
   3. Il est inutile de calculer $h'\left(\mu \right)$, qui est l'inverse de $h'\left(\lambda \right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\, i$.
   4. La périodicité d'ordre $4$ vient de ce que l'argument de $h'\left(\lambda \right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\, i$ vaut un huitième de tour.

   Figure 1: Convergence en double spirale et familles de cercles.

   

6. Déterminer l'homographie $g$ réciproque de l'homographie $h$. Quelle est la limite de la suite définie par $z_{m-1}=g\left(z_{m}\right)$ pour $m\rightarrow -\infty$ ?
   1. L'application des formules donne directement $H\left(\zeta \right)=\zeta \rightarrow \frac{3\, \zeta -1+I}{\zeta +2}$.
   2. Il est évident que les points fixes sont les mêmes. Par contre $H'\left(\mu \right)=1/h'\left(\mu \right)=h'\left(\lambda \right)$ et c'est maintenant le point $\mu$ qui est attracteur.

Cycles et transformations cycliques

1. On considère les points $a=4+2\, i$, $b=5-5\, i$ et $c=-4-2\, i$. Déterminer l'équation du cercle passant par $a,\, b,\, c$. En déduire son centre et son rayon.
   1. On calcule le déterminant : american
      $$\det \left(\begin{array}{cccr} 20 & 4 & 2 & 1\\ 50 & 5 & -5 & 1... ...& x & y & 1\end{array}\right)\equiv -1200+240\, y-120\, x+60\, x^{2}+60\, y^{2}$$

   2. En simplifiant et en regroupant, on trouve $\left(x-1\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}-25=0$.
   3. Le centre est donc $1-2i$ et le rayon vaut $5$.
2. On considère l'homographie $h$ définie par :
   $$\zeta =h\left(z\right)=\frac{2\, z-3\, i}{z+1}$$
   Calculer les images $\alpha =h\left(a\right)$, $\beta =h\left(b\right)$ et $\gamma =h\left(c\right)$. Déterminer l'équation du cycle passant par les points $\alpha ,\, \beta ,\, \gamma$. En déduire son centre et son rayon.
   1. On trouve $\alpha =\displaystyle {\frac{42-11\, i}{29}}$, $\beta =\displaystyle {\frac{125-28\, i}{61}}$ et $\gamma =\displaystyle {\frac{38+5\, i}{13}}$.
   2. On écrit que $\det \left(\begin{array}{cccr} 65 & 42 & -11 & 29\\ 269 & 125 & -28 & 61\\ 113 & 38 & 5 & 13\\ \xi ^{2}+\eta ^{2} & \xi & \eta & 1\end{array}\right)=0$ et il vient :
      $$\left(\xi -\frac{32}{17}\right)^{2}+\left(\eta -\frac{10}{17}\right)^{2}=\frac{325}{289}$$

   3. Le centre est donc $\frac{32}{17}+\frac{10}{17}\, i$ et le rayon $\frac{5\sqrt{13}}{17}$.
3. Quelle est l'image par $h$ de la droite $4\, x-3\, y+5=0$ ?
   1. Cette droite peut se caractériser par les points $\frac{-5}{4},\, \frac{5}{3}\, i,\, \infty$. Son image est donc le cycle contenant les points $10+12\, i,\, \frac{5}{34}+{\displaystyle \frac{3}{34}}\, i,\, 2$.
   2. Le calcul conduit à $\det \left(\begin{array}{cccr} 244 & 10 & 12 & 1\\ \frac{1}{34} & \frac{5}{3... ...1\\ 4 & 2 & 0 & 1\\ \xi ^{2}+\eta ^{2} & \xi & \eta & 1\end{array}\right)=0$, soit à :
      $$\left(\xi -\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\eta -9\right)^{2}-\frac{325}{4}=0$$

4. Quelle est l'image par $h$ de la droite $3\, x+4\, y+3=0$ ? On s'évite beaucoup de calculs en remarquant que cette droite passe par le pôle. Son image est donc une autre droite, passant $h\left(\infty \right)$. On trouve :
   $$18\, \xi +\eta -36=0$$

5. On note $x,\, y$ les coordonnées dans le plan complexe, et $X,\, Y,\, Z$ les coordonnées dans l'espace. Réécrire les formules de projection stéréographique avec ces nouvelles notations. Déterminer les images $A,\, B,\, C$ des points $a,\, b,\, c$ par projection stéréographique.
   $$X=2\, \frac{x}{1+x^{2}+y^{2}},\, Y=2\, \frac{y}{1+x^{2}+y^{2}},\, Z=\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}$$
   donne $A=\left(\frac{8}{21},\, \frac{4}{21},\, \frac{-19}{21}\right)$, $B=\left(\frac{10}{51},\, \frac{-10}{51},\, \frac{-49}{51}\right)$, $C=\left(\frac{-8}{21},\, \frac{-4}{21},\, \frac{-19}{21}\right)$.
6. Donner une description paramétrique des points $m$ du cercle $\omega$ passant par les points $a,\, b,\, c$. Déterminer les images $M$ de ces points par projection stéréographique.
   1. On a :
      $$m\in \omega \; :\; x=1+5\, \mathrm{cos}\left(t\right),\, y=-2+5\, \mathrm{sin}\left(t\right)$$

   2. $M\in \Omega \, :\, X=\frac{2+10\, \cos t}{31+10\, \cos t-20\, \sin t},\, Y=\fr... ...0\, \sin t},\, Z=\frac{-29-10\, \cos t+20\, \sin t}{31+10\, \cos t-20\, \sin t}$.
7. Montrer que les points $M$ appartiennent au plan $2\, X-4\, Y+21\, Z+19=0$.
   1. On peut évidemment substituer et faire les calculs.
   2. Mais c'est aussi une formule donnée dans les exercices.
      Ecrivant le cercle $x^{2}-2u\, x+y^{2}-2v\, y+w=0$, le plan est donné par :
      $$2u\, X+2v\, Y+\left(1-w\right)Z-\left(1+w\right)=0$$

8. Sachant que l'ensemble des points $M$ est un cercle, déterminer le centre de ce cercle.
   1. Appelant apex du cercle le point $\psi \, :\, \left(\frac{2u}{1+w},\, \frac{2v}{1+w},\, \frac{1-w}{1+w}\right)=\left(\frac{-2}{19},\, \frac{4}{19},\, \frac{-21}{19}\right)$, l'image du centre est à l'intersection de la sphère et de la droite $\left(S\psi \right)$, tandis que le centre de l'image est à l'intersection du plan du cercle image et de la droite $\left(O\psi \right)$. Ce point a donc pour coordonnées
      $$\left(\frac{-38}{461},\, \frac{76}{461},\, \frac{-399}{461}\right)$$

   2. Il est aisé de vérifier que ce point est à égale distance de $\alpha ,\, \beta ,\, \gamma$.