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3 Probabilités

3.1 Probabilités

  1. Définition : univers $ \Omega $ "ensemble des résultats possibles".
  2. Définition : un événement est une partie de $ \Omega $. Les événements $ \left\{ x\right\} $ avec $ x\in \Omega $ sont appelés "événements élémentaires".
  3. Réunion, intersection d'événements, complémentaire d'un événement.
  4. Définition : événements incompatibles est $ A\cap B=\emptyset $.
  5. Définition : une probabilité est une fonction $ \mathcal{P}\left( \Omega \right) \hookrightarrow \mathbb{R}^{+} $ telle que
    $ Pr\left( \Omega \right) =1 $ et $ Pr\left( A\cup B \right) =Pr\left( A \right) +Pr\left( B \right) $ lorsque $ A\cap B=\emptyset $.
    Dans le cas où $ \Omega $ est fini, cela suffit. Sinon, cela est un peu plus compliqué.
  6. Résultat : si $ A=\left\{ \omega _{1},  \omega _{2},  \omega _{3},  \cdots ,  \omega _{n}\right\} $ alors $ Pr\left( A \right) =\sum _{1}^{n}Pr\left( \omega _{j} \right) $ avec $ Pr\left( \omega _{j} \right) \doteq Pr\left( \left\{ \omega _{j}\right\} \right) $.
  7. Résultat : $ Pr\left( A\cup B \right) =Pr\left( A \right) +Pr\left( B \right) -Pr\left( A\cap B \right) $. En particulier, $ Pr\left( \complement A \right) =1-Pr\left( A \right) $.
  8. Résultat : dans le cas d'un univers fini de résultats équiprobables, $ Pr\left( A \right) =\frac{\char93   A}{\char93   \Omega } $.
    exo 21.  Vous faites partie d'un groupe de $ 12 $ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Calculer, de plusieurs façons, la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.
    exo 22.  Le problème du chevalier de Méré : Quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins un as en lançant 4 fois un dé, ou bien obtenir au moins un double as en lançant 24 fois deux dés ?

3.2 Formules de Morgan

  1. Hypothèse : on se limite aux ensembles $ A,  B,  \cdots $ inclus dans un ensemble $ \Omega $ fixé, autrement dit, on suppose $ A,  B,\cdots \in \mathcal{P}\left( \Omega \right) $.
  2. Définition : la fonction caractéristique de l'ensemble $ A $ est la fonction $ \chi _{A}  :  \Omega \hookrightarrow \left\{ 0,  1\right\} $ définie par $ \chi _{A}\left( x\right) =1 $ lorsque $ x\in \Omega $ et $ \chi _{A}\left( x\right) =0 $ lorsque $ x\notin \Omega $ (rappel : $ A\subset \Omega $).
  3. Définition : pour un ensemble fini, on a $ Card\left( A\right) =\sum _{x\in A}\chi _{A}\left( x\right) $.
  4. Résultat : pour $ C=A\cap B $, on a $ \chi _{C}=\chi _{A}\times \chi _{B} $ puisque $ x\in C $ est défini par $ x\in A\: et\: x\in B $.
  5. Résultat : pour $ C=\overline{A} $, le complémentaire de $ A $, c'est à dire $ \left\{ x\in \Omega   \left\vert   x\notin A\right. \right\} $, on a $ \chi _{C}=1-\chi _{A} $.
  6. Résultat : pour $ C=A\cup B $, on a $ \chi _{C}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}  \chi _{B} $. En effet, la formule $ \chi _{A}+\chi _{B} $ aurait pour effet de compter deux fois les éléments commune à $ A $ et à $ B $ : il convient donc de soustraire les éléments communs.
  7. Pour $ C=\overline{A\cup B} $, on a donc $ \chi _{C}=1-\chi _{A\cup B}=1-\left( \chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}  \chi _{B}\right) $. Qui se factorise en $ \chi _{C}=\left( 1-\chi _{A}\right) \left( 1-\chi _{B}\right) =\chi _{\overline{A}}  \chi _{\overline{B}} $. Prouvant que $ \overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B}$. L'autre formule se démontre de même. On a donc :

    $\displaystyle \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\qquad ;\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ (2)

    Figure 6: Visualisation de la formule $ \overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B}$.
    \resizebox*{1\columnwidth}{10cm}{\includegraphics{figures/diag_wenn.eps}}

  8. Critique : le problème de base en théorie des ensembles est d'être certain que l'on n'est pas en train utiliser le résultat à démontrer au cours de la démonstration de ce résultat. Or la notion de fonction nécessite celle d'ensemble et ... les ennuis commencent. En bref, nous avons montré : ``si la théorie des ensembles est cohérente, alors la formule de Morgan s'applique''.
  9. Remarque. On notera la ressemblance entre les formules pour $ \chi $ (la mesure de dénombrement) et les formules pour $ Pr\left( . \right) $ (la mesure de probabilité).

3.3 Probabilités conditionnelles

  1. Définition : probabilité de $ A $ quand $ E $ a eu lieu. Lorsque $ Pr\left( E \right) \neq 0 $, on pose : $ Pr\left( A\mid E \right) \doteq \frac{Pr\left( A\cap E \right) }{Pr\left( E \right) } $. On vérifie que $ Pr\left( .\mid E \right) $ est une probabilité sur $ \Omega $.
  2. Définition : deux événements $ A,  B $ sont (complètement) indépendants veut dire
    $ Pr\left( A\mid B \right) =Pr\left( A \right) $, c'est à dire $ Pr\left( A\cap B \right) =Pr\left( A \right) \times Pr\left( B \right) $.
  3. Formule des ``probabilités totales'' : si $ \Omega =\biguplus _{1}^{n}B_{i} $ (union disjointe) alors $ Pr\left( A \right) =\sum _{1}^{n}Pr\left( A\mid B_{i} \right) Pr\left( B_{i} \right) $.
  4. Formule de Bayes : $ Pr\left( B\mid A \right) =Pr\left( A\mid B \right) \frac{Pr\left( B \right) }{Pr\left( A \right) } $.
    exo 23.  Une urne contient trois boules blanches et deux noires, et on tire successivement deux boules. $ A $ est ``tirer deux boules de même couleur'', $ B_{1} $ est ``la première boule est blanche'', $ B_{2} $ est ``la première boule est noire''. On a $ Pr\left( A \right) =Pr\left( A\mid B_{1} \right) Pr\left( B_{1} \right) +Pr\le...
...left( B_{2} \right) =\frac{2}{4}\frac{3}{5}+\frac{1}{4}\frac{2}{5}=\frac{2}{5} $. Et de plus $ Pr\left( B_{1}\mid A \right) =\frac{1}{2}\frac{3/5}{2/5}=\frac{3}{4} $.
    exo 24.  Vous faites partie d'un groupe de $ 12 $ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Utiliser les probabilités conditionnelles pour retrouver la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.
    exo 25.   Peut-on déterminer $ Pr\left( A \right) $ et $ Pr\left( B \right) $ sachant que $ Pr\left( A\cup B \right) =0.7 $ et $ Pr\left( A\cap B \right) =0.1 $ ? Et si l'on rajoute l'hypothèse d'indépendance (complète) entre les deux événements ?
    exo 26.   On examine des pièces de tissu. Lorsque la pièce est conforme au cahier des charges, sa probabilité d'acceptation est de $ 95\% $. Lorsque la pièce est défectueuse, sa probabilité de rejet est de $ 98\% $. Soit $ p$ la proportion de pièces défectueuses par rapport au total. Déterminer la proportion $ q $ de pièces effectivement défectueuses parmi les pièces mises au rebut. Quelle est les valeurs de $ p$ correspondant à $ q\geq 80\% $ ?

3.4 Variables aléatoires

  1. Définition : une variable discrète est $ \left( \mathbb{N},  Pr\left( . \right) \right) $, une variable continue est $ \left( \mathbb{R},  Pr\left( . \right) \right) $. Le cas fini se traite par plongement dans $ \mathbb{N}$ et les ``ensembles non-tordus'' par plongement dans $ \mathbb{R}$.
  2. Définition : fonction de répartition $ F\left( x\right) =Pr\left( \left] -\infty ,  x\right[ \right) =Pr\left( X<x \right) $.
  3. Propriété : $ F $ est croissante, continue à gauche et vérifie $ F\left( -\infty \right) =0 $, $ F\left( +\infty \right) =1 $ et
    $ Pr\left( a\leq X<b \right) =F\left( b\right) -F\left( a\right) $.
  4. Ne pas confondre $ Pr\left( a\leq X<b \right) =F\left( b\right) -F\left( a\right) $ avec $ Pr\left( a\leq X\leq b \right) =\inf \left\{ F\left( x\right) \mid x>b\right\} -F\left( a\right) $.
  5. Propriété : la fonction de répartition est continue en $ x=a $ si et seulement si $ Pr\left( X=a \right) =0 $.
  6. Définition : densité. Si $ f  :  \mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{R}$ est continue par morceaux, positive et vérifie $ \int _{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right)   \mathrm{d}t=1 $, alors $ Pr\left( A \right) =\int _{A}f\left( t\right)   \mathrm{d}t$ définit une v.a. continue. On dit alors que $ f $ est la densité de probabilité de cette variable.
  7. Définition : espérance. Pour une variable discrète $ X $, on définit $ \mathrm{E}\left( X \right) =\sum k  Pr\left( X=k \right) $. Pour une variable à densité $ X $, on définit $ \mathrm{E}\left( X \right) =\int _{-\infty }^{+\infty }t  f\left( t\right)   \mathrm{d}t$.
  8. Définition : variance. On définit $ \mathrm{var}\left( X \right) =\mathrm{E}\left( (X-\mathrm{E}\left( X \right) )^{2} \right) $, et on obtient la formule $ \mathrm{var}\left( X \right) =\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{2} $.


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2002-11-20