3 Probabilités

3.1 Probabilités

1. Définition : univers $\Omega$ "ensemble des résultats possibles".
2. Définition : un événement est une partie de $\Omega$. Les événements $\left\{ x\right\}$ avec $x\in \Omega$ sont appelés "événements élémentaires".
3. Réunion, intersection d'événements, complémentaire d'un événement.
4. Définition : événements incompatibles est $A\cap B=\emptyset$.
5. Définition : une probabilité est une fonction $\mathcal{P}\left( \Omega \right) \hookrightarrow \mathbb{R}^{+}$ telle que
   $Pr\left( \Omega \right) =1$ et $Pr\left( A\cup B \right) =Pr\left( A \right) +Pr\left( B \right)$ lorsque $A\cap B=\emptyset$.
   Dans le cas où $\Omega$ est fini, cela suffit. Sinon, cela est un peu plus compliqué.
6. Résultat : si $A=\left\{ \omega _{1}, \omega _{2}, \omega _{3}, \cdots , \omega _{n}\right\}$ alors $Pr\left( A \right) =\sum _{1}^{n}Pr\left( \omega _{j} \right)$ avec $Pr\left( \omega _{j} \right) \doteq Pr\left( \left\{ \omega _{j}\right\} \right)$.
7. Résultat : $Pr\left( A\cup B \right) =Pr\left( A \right) +Pr\left( B \right) -Pr\left( A\cap B \right)$. En particulier, $Pr\left( \complement A \right) =1-Pr\left( A \right)$.
8. Résultat : dans le cas d'un univers fini de résultats équiprobables, $Pr\left( A \right) =\frac{\char93 A}{\char93 \Omega }$.
   exo 21.  Vous faites partie d'un groupe de $12$ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Calculer, de plusieurs façons, la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.
   exo 22.  Le problème du chevalier de Méré : Quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins un as en lançant 4 fois un dé, ou bien obtenir au moins un double as en lançant 24 fois deux dés ?

3.2 Formules de Morgan

1. Hypothèse : on se limite aux ensembles $A, B, \cdots$ inclus dans un ensemble $\Omega$ fixé, autrement dit, on suppose $A, B,\cdots \in \mathcal{P}\left( \Omega \right)$.
2. Définition : la fonction caractéristique de l'ensemble $A$ est la fonction $\chi _{A} : \Omega \hookrightarrow \left\{ 0, 1\right\}$ définie par $\chi _{A}\left( x\right) =1$ lorsque $x\in \Omega$ et $\chi _{A}\left( x\right) =0$ lorsque $x\notin \Omega$ (rappel : $A\subset \Omega$).
3. Définition : pour un ensemble fini, on a $Card\left( A\right) =\sum _{x\in A}\chi _{A}\left( x\right)$.
4. Résultat : pour $C=A\cap B$, on a $\chi _{C}=\chi _{A}\times \chi _{B}$ puisque $x\in C$ est défini par $x\in A\: et\: x\in B$.
5. Résultat : pour $C=\overline{A}$, le complémentaire de $A$, c'est à dire $\left\{ x\in \Omega \left\vert x\notin A\right. \right\}$, on a $\chi _{C}=1-\chi _{A}$.
6. Résultat : pour $C=A\cup B$, on a $\chi _{C}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A} \chi _{B}$. En effet, la formule $\chi _{A}+\chi _{B}$ aurait pour effet de compter deux fois les éléments commune à $A$ et à $B$ : il convient donc de soustraire les éléments communs.
7. Pour $C=\overline{A\cup B}$, on a donc $\chi _{C}=1-\chi _{A\cup B}=1-\left( \chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A} \chi _{B}\right)$. Qui se factorise en $\chi _{C}=\left( 1-\chi _{A}\right) \left( 1-\chi _{B}\right) =\chi _{\overline{A}} \chi _{\overline{B}}$. Prouvant que $\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B}$. L'autre formule se démontre de même. On a donc :

   $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\qquad ;\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$$ (2)

   
   

   Figure 6: Visualisation de la formule $\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B}$.

   

8. Critique : le problème de base en théorie des ensembles est d'être certain que l'on n'est pas en train utiliser le résultat à démontrer au cours de la démonstration de ce résultat. Or la notion de fonction nécessite celle d'ensemble et ... les ennuis commencent. En bref, nous avons montré : ``si la théorie des ensembles est cohérente, alors la formule de Morgan s'applique''.
9. Remarque. On notera la ressemblance entre les formules pour $\chi$ (la mesure de dénombrement) et les formules pour $Pr\left( . \right)$ (la mesure de probabilité).

3.3 Probabilités conditionnelles

1. Définition : probabilité de $A$ quand $E$ a eu lieu. Lorsque $Pr\left( E \right) \neq 0$, on pose : $Pr\left( A\mid E \right) \doteq \frac{Pr\left( A\cap E \right) }{Pr\left( E \right) }$. On vérifie que $Pr\left( .\mid E \right)$ est une probabilité sur $\Omega$.
2. Définition : deux événements $A, B$ sont (complètement) indépendants veut dire
   $Pr\left( A\mid B \right) =Pr\left( A \right)$, c'est à dire $Pr\left( A\cap B \right) =Pr\left( A \right) \times Pr\left( B \right)$.
3. Formule des ``probabilités totales'' : si $\Omega =\biguplus _{1}^{n}B_{i}$ (union disjointe) alors $Pr\left( A \right) =\sum _{1}^{n}Pr\left( A\mid B_{i} \right) Pr\left( B_{i} \right)$.
4. Formule de Bayes : $Pr\left( B\mid A \right) =Pr\left( A\mid B \right) \frac{Pr\left( B \right) }{Pr\left( A \right) }$.
   exo 23.  Une urne contient trois boules blanches et deux noires, et on tire successivement deux boules. $A$ est ``tirer deux boules de même couleur'', $B_{1}$ est ``la première boule est blanche'', $B_{2}$ est ``la première boule est noire''. On a $Pr\left( A \right) =Pr\left( A\mid B_{1} \right) Pr\left( B_{1} \right) +Pr\le... ...left( B_{2} \right) =\frac{2}{4}\frac{3}{5}+\frac{1}{4}\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$. Et de plus $Pr\left( B_{1}\mid A \right) =\frac{1}{2}\frac{3/5}{2/5}=\frac{3}{4}$.
   exo 24.  Vous faites partie d'un groupe de $12$ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Utiliser les probabilités conditionnelles pour retrouver la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.
   exo 25.   Peut-on déterminer $Pr\left( A \right)$ et $Pr\left( B \right)$ sachant que $Pr\left( A\cup B \right) =0.7$ et $Pr\left( A\cap B \right) =0.1$ ? Et si l'on rajoute l'hypothèse d'indépendance (complète) entre les deux événements ?
   exo 26.   On examine des pièces de tissu. Lorsque la pièce est conforme au cahier des charges, sa probabilité d'acceptation est de $95\%$. Lorsque la pièce est défectueuse, sa probabilité de rejet est de $98\%$. Soit $p$ la proportion de pièces défectueuses par rapport au total. Déterminer la proportion $q$ de pièces effectivement défectueuses parmi les pièces mises au rebut. Quelle est les valeurs de $p$ correspondant à $q\geq 80\%$ ?

3.4 Variables aléatoires

1. Définition : une variable discrète est $\left( \mathbb{N}, Pr\left( . \right) \right)$, une variable continue est $\left( \mathbb{R}, Pr\left( . \right) \right)$. Le cas fini se traite par plongement dans $\mathbb{N}$ et les ``ensembles non-tordus'' par plongement dans $\mathbb{R}$.
2. Définition : fonction de répartition $F\left( x\right) =Pr\left( \left] -\infty , x\right[ \right) =Pr\left( X<x \right)$.
3. Propriété : $F$ est croissante, continue à gauche et vérifie $F\left( -\infty \right) =0$, $F\left( +\infty \right) =1$ et
   $Pr\left( a\leq X<b \right) =F\left( b\right) -F\left( a\right)$.
4. Ne pas confondre $Pr\left( a\leq X<b \right) =F\left( b\right) -F\left( a\right)$ avec $Pr\left( a\leq X\leq b \right) =\inf \left\{ F\left( x\right) \mid x>b\right\} -F\left( a\right)$.
5. Propriété : la fonction de répartition est continue en $x=a$ si et seulement si $Pr\left( X=a \right) =0$.
6. Définition : densité. Si $f : \mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{R}$ est continue par morceaux, positive et vérifie $\int _{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \mathrm{d}t=1$, alors $Pr\left( A \right) =\int _{A}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ définit une v.a. continue. On dit alors que $f$ est la densité de probabilité de cette variable.
7. Définition : espérance. Pour une variable discrète $X$, on définit $\mathrm{E}\left( X \right) =\sum k Pr\left( X=k \right)$. Pour une variable à densité $X$, on définit $\mathrm{E}\left( X \right) =\int _{-\infty }^{+\infty }t f\left( t\right) \mathrm{d}t$.
8. Définition : variance. On définit $\mathrm{var}\left( X \right) =\mathrm{E}\left( (X-\mathrm{E}\left( X \right) )^{2} \right)$, et on obtient la formule $\mathrm{var}\left( X \right) =\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{2}$.