4 Variables aléatoire discrètes

4.1 Variables discrètes finies (rappels)

1. On détermine une variable aléatoire finie par sa table de probabilités
   

   $X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{m}$
   $p$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{m}$

   , avec $p_{j}>0$ et $\sum p_{j}=1$.
2. Définition : espérance. On a $\mathrm{E}\left( X \right) \doteq \sum _{j}x_{j} p_{j}$.
   Plus généralement $\mathrm{E}\left( g\left( X\right) \right) \doteq \sum _{j}g\left( x_{j}\right) p_{j}$.
3. Définition : variance. On a $\mathrm{var}\left( X \right) \doteq \mathrm{E}\left( (X-\mathrm{E}\left( X \right) )^{2} \right)$.
   Formule déjà donnée $\mathrm{var}\left( X \right) =\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{2}$.
4. Définition : écart-type : $\sigma _{X}\doteq \sqrt{\mathrm{var}\left( X \right) }$. Cette grandeur a la même nature que $X$.
5. Propriétés : $\mathrm{E}\left( a X+b \right) =a \mathrm{E}\left( X \right) +b$ et $\mathrm{var}\left( a X+b \right) =a^{2} \mathrm{var}\left( X \right)$.
6. Définition : variable réduite. On pose $Z\doteq \frac{X-\mathrm{E}\left( X \right) }{\sigma _{X}}$. C'est une grandeur sans dimension (un nombre) et $\mathrm{E}\left( Z \right) =0$, $\mathrm{var}\left( Z \right) =1$.

4.2 Exemples

1. Loi uniforme sur $\left\{ 1, 2, \cdots , m\right\}$. Définition : $Pr\left( X=k \right) =\frac{1}{m}$ si $k\in \Omega$ et $0$ sinon.
   Formules : $\mathrm{E}\left( X \right) =\left( m+1\right) \div 2$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =\left( n^{2}-1\right) \div 12$.

   exo 27.  Retrouver ces formules. On pourra utiliser une sommation télescopique des relations $\left( k+1\right) ^{2}-k^{2}=2 k+1$ et $\left( k+1\right) ^{3}-k^{3}=3 k^{2}+3 k+1$.

   exo 28.  Comparer $\sum _{k=1}^{k=n}k^{2}$ avec les intégrales $\int _{x=0}^{x=n} \mathrm{d}x$ et $\int _{x=1}^{x=n+1} \mathrm{d}x$. Peut-on trouver une meilleure approximation ?

   exo 29.  Déterminer les moments, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( X^{n} \right)$ pour $n\in \mathbb{N}$. En déduire les moments centrés, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( \left( X-\mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{n} \right)$.

2. Loi de Bernoulli. Définition : $Pr\left( X=1 \right) =p$ (succès) et $Pr\left( X=0 \right) =1-p$.
   Formules : $\mathrm{E}\left( X \right) =p$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =p \left( 1-p\right)$.
3. Séries génératrices. Définition $S\left( z\right) =\sum _{k}Pr\left( X=k \right) z^{k}$ avec $z\in \mathbb{C}$. Il est clair que cette série converge uniformément pour $\left\vert z\right\vert \leq 1-\varepsilon$.

   exo 30.  Vérifier que, pour la loi de Bernoulli, $S\left( z\right) =q+p z$.

4. Théorème. Pour une variable à support fini, on a
   $S\left( 1\right) =\sum _{k}Pr\left( X=k \right) =1$, $S'\left( 1\right) =\sum _{k}k Pr\left( X=k \right) =\mathrm{E}\left( X \right)$ et
   $S''\left( 1\right) =\sum _{k}k\left( k-1\right) Pr\left( X=k \right) =\mathrm{E}\left( X\left( X-1\right) \right)$. Par conséquent,
   $\mathrm{var}\left( X \right) =S''\left( 1\right) +S'\left( 1\right) -\left( S'\left( 1\right) \right) ^{2}$.

   exo 31.  Vérifier ces formules pour la loi de Bernoulli $S\left( z\right) =q+p z$.

   exo 32.  Vérifier que la série génératrice d'une variable uniforme sur $\left\{ 1, 2, \cdots , m\right\}$ est $S\left( z\right) =\frac{z^{m+1}-z}{z-1}$. Utiliser ce résultat pour retrouver les paramètres de dispersion.

5. Loi binomiale. Définition : $K=Bin\left( n, p\right)$ est la loi du nombre de succès en $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes.
   Formules : $Pr\left( K=k \right) =\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$ et $\mathrm{E}\left( K \right) =n p$, $\mathrm{var}\left( K \right) =n p q$.

   exo 33.  Vérifier ces formules par un calcul direct pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$.

   exo 34.  Retrouver ces formules en appliquant les théorèmes généraux sur les espérances et les variances.

   exo 35.  Déterminer les moments de la loi binomiale, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( K^{n} \right)$ pour $n\in \mathbb{N}$. En déduire les moments centrés, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( \left( K-\mathrm{E}\left( K \right) \right) ^{n} \right)$.

6. Théorème. La série génératrice de la somme de deux variables aléatoires discrètes INDÉPENDANTES est le produit des séries génératrices..

   exo 36.  Vérifier que l'on a $S\left( z\right) =\left( q+p z\right) ^{n}$. Utiliser ce résultat pour retrouver $\mathrm{E}\left( K \right)$ et $\mathrm{var}\left( K \right)$.

   exo 37.  Tracer les histogrammes correspondants à $n=5$, $n=10$, $n=20$ et $n=40$ pour $p=\frac{1}{2}$, puis pour $p$ choisi de façon que $n p=1$.

7. Loi hypergéométrique. Définition : on prélève, sans remise et avec une probabilité uniforme, un échantillon de taille $n$ au sein d'une population de $N$ individus. On s'intéresse à un certain caractère binaire (i.e. présent ou absent), et on appelle $m$ le nombre d'occurences de ce caractère dans l'échantillon et $p$ sa prévalence (fréquence) dans la population. La loi hypergéométrique $Hyp\left( N, n, p\right)$ est $Pr\left( M=m \right) =\binom{N p}{m}\times \binom{N q}{n-m}\div \binom{N}{n}$
   Formules : $\mathrm{E}\left( X \right) =np$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =n p q \frac{N-n}{N-1}$.

   exo 38.  Déterminer les moments, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( X^{n} \right)$ pour $n\in \mathbb{N}$. En déduire les moments centrés, c'est à dire les espérances $\mathrm{E}\left( \left( X-\mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{n} \right)$.

8. Proposition : si l'on fait $N\rightarrow \infty$ dans $Hyp\left( N, n, p\right)$, on obtient la loi binomiale $Bin\left( n, p\right)$.

4.3 Exercices

exo 39.  Soit $X$ la variable définie par la distribution de probabilité suivante :

$X$	1	2	3	4	5	6
$Pr\left( X \right)$	$.1$	$\alpha$	$.2$	$.1$	.1	.1

. Déterminer $\alpha$. Calculer $\mathrm{E}\left( X \right)$, $\mathrm{var}\left( X \right)$ et $\sigma _{X}$. En déduire les paramètres de dispersion des variables $Y_{1}=2 X$, $Y_{2}=-\frac{1}{2}X$ et $Y_{3}=X-3$.

exo 40.  On joue quatre fois de suite à pile ou face. Quelle est la distribution du nombre $K$ de fois où l'on a obtenu pile ? Dessin et paramètres de dispersion. Mêmes questions pour $n=12$ et $n=20$ (ne pas hésiter à utiliser un ordinateur...).

exo 41.  Une jardinerie garantit à tout acheteur de plants de tomates que $90\%$ des plants se développeront correctement après repiquage. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins $18$ pieds de tomate après un achat de $20$ plants ? Quelle est la probabilité de perdre au plus $50$ plants après un achat de $200$ plants ?

exo 42.  Concours ENAC. L'épreuve de mathématiques du concours ENAC consiste en un QCM de 50 questions. Pour chacune, 4 réponses sont proposées. Chaque candidat choisit $40$ questions et indique la réponse qui lui parait convenir. Une réponse exacte est valorisée de $2$ points, chaque réponse inexacte est pénalisée de $1$ point.
On considère le sous-ensemble $\Omega _{1}$ des candidats qui répondent de façon aléatoire (uniforme). Quels sont les paramètres de dispersion $\mathrm{E}\left( X \right)$ et $\sigma _{X}$ des notes obtenues ?
On considère le sous-ensemble $\Omega _{2}$ des candidats qui choisissent uniformément les questions et y répondent avec un taux de succès de $80\%$. Donner les paramètres de dispersion correspondants.
On considère enfin le sous-ensemble de $\Omega _{2}$ constitué de candidats qui savent en outre identifier les 20 questions les plus faciles, et y répondent alors avec un taux de $100\%$. Donner les paramètres de dispersion correspondants.

4.4 Extension aux variables discrètes infinies

1. La convergence de $\mathrm{E}\left( X \right) =\sum _{n\in \mathbb{N}}x_{n} p_{n}$ et de $\mathrm{E}\left( X^{2} \right) =\sum _{n\in \mathbb{N}}x_{n}^{2} p_{n}$ ne sont plus automatiques. On se place dans le cas où ces sommes sont bien définies.
2. Définition : loi géométrique. $X=Geom\left( a\right)$ est $Pr\left( X=n \right)$ proportionnelle à $a^{n}$.
   Formules : $Pr\left( X=n \right) =\frac{1}{1-a}a^{n}$, $\mathrm{E}\left( X \right) =\frac{1}{1-a}$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =\frac{a}{\left( 1-a\right) ^{2}}$.
   exo 43.  Tester numériquement ces formules pour $a=0.2$. Les démonter dans le cas général. Calculer les moments et les moments centrés correspondants.

4.5 Loi de Poisson

1. Définition : loi de Poisson. $X=Poiss\left( m\right)$ est $Pr\left( K=k \right)$ proportionnel à $\frac{m^{k}}{k!}$.
   Formules : $Pr\left( K=k \right) =\frac{m^{k}}{k!}\exp \left( -m\right)$, $\mathrm{E}\left( K \right) =m$ et $\mathrm{var}\left( K \right) =m$.
   exo 44.  Tester numériquement ces formules pour $m=2$. Les démonter dans le cas général. Calculer les moments et les moments centrés correspondants.
2. Proposition : si l'on a $n p=m$ constant et $n\rightarrow \infty$ dans la loi binomiale, la limite est la loi de Poisson.
3. Règle pratique, on approxime $Bin\left( n, p\right)$ par $Poiss\left( n p\right)$ lorsque $n\geq 30$ et $p\leq 0.1$.

Figure 7: Loi de Poisson $m=1$ et $m=5$.