5 Couples de variables aléatoires

Pour faciliter l'exposé, les variables sont supposées discrètes.

5.1 Rappels : Covariance et indépendance

1. Tableau de contingence, donnant $Pr\left( X=x, Y=y \right)$.
   Lois marginales $Pr\left( X=x \right) =\sum _{y}Pr\left( X=x, Y=y \right)$ etc.
2. Définition : indépendance (complète). La connaissance de $y$ ne nous apprend rien sur $x.$ On a donc $Pr\left( X=x\mid Y=y \right) =Pr\left( X=x \right)$, soit $Pr\left( X=x, Y=y \right) =Pr\left( X=x \right) \times Pr\left( Y=y \right)$.
3. Définition : covariance. On pose $\mathrm{cov} {}(X, Y)=\mathrm{E}\left( \left( X -\mathrm{E}\left( X \right) \right) \left( Y-\mathrm{E}\left( Y \right) \right) \right)$ et on a $\mathrm{cov} {}(X, Y)=\mathrm{E}\left( X Y \right) -\mathrm{E}\left( X \right) \mathrm{E}\left( Y \right)$.
4. Formule :
   

   $$\mathrm{E}\left( a X+b Y \right) = a \mathrm{E}\left( X \right) +b \mathrm{E}\left( Y \right)$$

   $$\mathrm{var}\left( a X+b Y \right) = a^{2} \mathrm{var}\left( X \right) +b^{2} \mathrm{var}\left( Y \right) +2a b \mathrm{cov} {}(X, Y)$$

   
   

5. Définition : indépendance linéaire. Se définit par $\mathrm{cov} {}(X, Y)=0$. On a alors :
   $\mathrm{var}\left( X+Y \right) =\mathrm{var}\left( X \right) +\mathrm{var}\left( Y \right)$.

5.2 Droite de tendance

1. On veut minimiser $\mathrm{var}\_\mathrm{reduite} \left( Y\right) \doteq \mathrm{E}\left( (Y-Y_{prev})^{2} \right)$, avec $y_{prev}=\alpha x+\beta$.
   Formule $y_{prev}=\mathrm{E}\left( Y \right) +\alpha \left( x-\mathrm{E}\left( X \right) \right)$, avec $\alpha =\frac{\mathrm{cov} {}(X, Y)}{\mathrm{var}\left( X \right) }$.
2. On a alors $\mathrm{var}\_\mathrm{reduite} \left( Y\right) =\left( 1-r^{2}\right) \mathrm{var}\left( Y \right)$ avec $r=\frac{\mathrm{cov} {}(X, Y)}{\sigma _{X} \sigma _{Y}}$. L'intervention de la variable $X$ permet d'expliquer $r^{2}$ % de la variance de $Y$.
3. Le coefficient de corrélation $r$ vérifie $-1\leq r\leq 1$ (parce que $\mathrm{var}\_\mathrm{reduite} \geq 0$).

5.3 Exemple

On lance deux dés, $x$ est leur somme dés, $y$ est leur écart (cf. Table 1).

Table 1: Distribution jointe de $x$ et de $y$.

$\downarrow y\quad x\rightarrow$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	$Pr\left( y \right)$
0	$$\frac{1}{36}$$	$0$	$$\frac{1}{36}$$	$0$	$$\frac{1}{36}$$	$0$	$$\frac{1}{36}$$	$0$	$$\frac{1}{36}$$	$0$	$$\frac{1}{36}$$	$$\frac{6}{36_{.}}$$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$
1	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{10}{36}$$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$
2	$0$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$0$	$$\frac{8}{36}$$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$
3	$0$	$0$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$0$	$0$	$$\frac{6}{36}$$	$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$
4	$0$	$0$	$0$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$0$	$0$	$0$	$$\frac{4}{36}$$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$
5	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$
$Pr\left( X=x \right)$	$$\frac{1}{36}$$	$$\frac{2}{36}$$	$$\frac{3}{36}$$	$$\frac{4}{36}$$	$$\frac{5}{36}$$	$$\frac{6}{36}$$	$$\frac{5}{36}$$	$$\frac{4}{36}$$	$$\frac{3}{36}$$	$$\frac{2}{36}$$	$$\frac{1}{36}$$	$1$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$
$\sum y Pr\left( x, y \right)$	$0$	$$\frac{2}{36}$$	$$\frac{4}{36}$$	$$\frac{8}{36}$$	$$\frac{12}{36}$$	$$\frac{18}{36}$$	$$\frac{12}{36}$$	$$\frac{8}{36}$$	$$\frac{4}{36}$$	$$\frac{2}{36}$$	$0$	$$\frac{70}{36}$$	$$\frac{\frac{\vert}{\vert}}{\frac{\vert}{\vert}}$$

1. $\mathrm{E}\left( X \right) =\left( 2\times \! 1+3\times \! 2+4\times \! 3\times +5\times \! 4+\cdots +10\times 3+11\times 2+12\times 1\right) \div 36=7$,
   $\mathrm{E}\left( X^{2} \right) =\left( 2^{2}\times 1+3^{2}\times 2+\cdots +11^{2}\times 2+12^{2}\times 1\right) \div 36=\frac{329}{6}$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =\frac{35}{6}$.
2. De même $\mathrm{E}\left( Y \right) =\frac{70}{36}$, $\mathrm{E}\left( Y^{2} \right) =\frac{210}{36}$ et $\mathrm{var}\left( Y \right) \approx 2.05$.
3. $\mathrm{E}\left( X Y \right) =\left( 3\times 2+4\times 4+5\times 8+6\times 12+\cdots +10\times 3+11\times 2\right) \div 36=\frac{245}{18}$, d'où $\mathrm{cov} {}0$. D'ailleurs le nuage de points est symétrique autour de $X=7$.
4. Caveat : ne pas confondre indépendance linéaire et indépendance complète !

5.4 Loi de la somme de deux variables indépendantes

1. Formule générale (convolution). Pour des variables (discrètes) indépendantes, la formule des probabilités totales donne
   $Pr\left( X+Y=z \right) =\sum _{x}Pr\left( X+Y=z \left\vert X=x\right. \right) Pr\left( X=x \right)$, soit

   $$Pr\left( X+Y=z \right) =\sum _{x}Pr\left( Y=z-x \right) Pr\left( X=x \right)$$ (3)

   
   

2. Exemple 1 : si $K_{1}$ et $K_{2}$ sont indépendantes avec $K_{1}=Bin\left( n_{1}, p\right)$ et $K_{2}=Bin\left( n_{2}, p\right)$ alors $K_{1}+K_{2}=Bin\left( n_{1}+n_{2}, p\right)$ (le même $p$ partout).
3. Exemple 2 : si $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes avec $X_{1}=Poiss\left( \mu \right)$ et $X_{2}=Poiss\left( \lambda \right)$ alors $X_{1}+X_{2}=Poiss\left( \lambda +\mu \right)$.