6 Variables à densité

6.1 Principes généraux

Moyennant diverses précautions oratoires,

1. Si $f : \mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{R}$ est continue par morceaux, positive et vérifie $\int _{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \mathrm{d}t=1$, alors $Pr\left( A \right) =\int _{A}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ définit une v.a. continue.
2. Définition : on dit que $f$ est la densité de probabilité de cette variable.
3. Caveat. La quantité $f\left( x\right)$ n'est pas la probabilité de $X=x$. En effet, cette probabilité est nulle (c'est précisément la condition pour qu'il y ait une densité de probabilité).
4. Propriété des aires. Le graphe de $f\left( x\right)$ généralise la notion d'histogramme. Dans les deux cas, les probabilités sont représentées par des surfaces. En particulier $Pr\left( X\in \left[ x, x+dx\right] \right) =f\left( x\right) dx$.
5. Pour une variable à densité $X$, on définit $\mathrm{E}\left( X \right) \doteq \int _{-\infty }^{+\infty }t f\left( t\right) \mathrm{d}t$ et
   $\mathrm{var}\left( X \right) \doteq \int _{-\infty }^{+\infty }\left( t-\mathr... ...\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X \right) \right) ^{2}$.
6. Propriétés $\mathrm{E}\left( a X+b \right) =a \mathrm{E}\left( X \right) +b$ et $\mathrm{var}\left( a X+b \right) =a^{2} \mathrm{var}\left( X \right)$ (comme pour les variables discrètes).

6.2 Exemples

1. Loi uniforme sur $\left[ a, b\right]$ : $f\left( x\right) =\frac{1}{b-a}$ si $a\leq x\leq b$ et $f\left( x\right) =0$ sinon.
   Formules $\mathrm{E}\left( X \right) =\frac{1}{2}\left( a+b\right)$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =\frac{1}{12}\left( b-a\right) ^{2}$.
   exo 45.  Soient $X$ et $Y$ deux variables uniformément distribuées sur $\left[ 1, 3\right]$ et sur $\left[ 2, 5\right]$. Quelle est la loi de $Z\doteq X+Y$ ?
   exo 46.  (pour l'exercice suivant) On regroupe plusieurs populations finies $\Omega _{j}$, ayant des effectifs différents $n_{j}$. Rappeler comment obtenir la moyenne et la variance de la population totale à partir des paramètres des $\Omega _{j}$.
   exo 47.  On considère une variable à densité $X$ prenant ses valeurs dans l'intervalle $\left[ a, b\right]$. Pour un $n$ entier donné, on pose $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ et, pour $0\leq k\leq n$, $x_{k}=a+k \Delta x$ ainsi que, pour $1\leq k\leq n$, $y_{k}=\frac{1}{2}\left( x_{k-1}+x_{k}\right)$. On définit une variable aléatoire discrète $Y$ en posant $Pr\left( y_{k} \right) =Pr\left( X<x_{k} \right) -Pr\left( X<x_{k-1} \right)$. Montrer que l'on a $\mathrm{E}\left( X \right) \simeq \mathrm{E}\left( Y \right)$ et $\mathrm{var}\left( X \right) \simeq \mathrm{var}\left( Y \right) +\alpha \Delta x^{2}$ avec $\alpha$ constante à déterminer.
2. Loi exponentielle : $Pr\left( x\leq X\leq x+ \mathrm{d}x \right) \propto \exp \left( -\lambda x\right) \mathrm{d}x$.
   Formules $f\left( x\right) =\lambda \exp \left( -\lambda x\right)$, $\mathrm{E}\left( X \right) =1/\lambda$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =1/\lambda ^{2}$.
   exo 48.  Retrouver ces résultats.
   exo 49.  Déterminer les quartiles d'une loi exponentielle, c'est à dire les valeurs correspondant à $F\left( x\right) =0.25, 0.5, 0.75$.

6.3 Inter-arrivées exponentielles

exo 50.  Des clients arrivent un par un dans une file d'attente. On appelle $A\left( n\right)$ le temps qui sépare les arrivées des clients $n$ et $n+1$. On suppose que les $A\left( n\right)$ sont des variables indépendantes, toutes distribuées selon la même loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Montrer que la loi du nombre $K$ de clients arrivant par unité de temps est une loi de Poisson. En quoi le produit $\mathrm{E}\left( A \right) \times \mathrm{E}\left( K \right)$ est-il remarquable ?

exo 51.  Les autobus en bas de chez vous passent de façon aléatoire, les temps de passage entre deux bus étant des variables de Poisson i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) de paramètre $\lambda$. Vous descendez de façon aléatoire, avec une probabilité uniforme. Quelle est la distribution de votre temps d'attente ? Calculer en particulier la valeur moyenne de l'attente.