7 Loi normale

7.1 Limite de la loi binomiale pour $\sigma \rightarrow \infty$

1. Notations. Soit $J$ une variable binomiale de paramètres $n$ (le nombre total d'essais) et $p$ (la probabilité de succès à une épreuve élémentaire). On pose $q=1-p$ et $k=n-j$. On a $Pr\left( J=j \right) =\binom{n}{k}p^{j} q^{k}$.
2. Variable réduite. On sait que $\mathrm{E}\left( J \right) =n p$ et $\sigma ^{2}\doteq \mathrm{var}\left( J \right) =n p q$. La variable réduite $X$ associée à $J$ est $X=\left( J-\mathrm{E}\left( J \right) \right) \div \sigma _{X}$, soit $x=\frac{j-n p}{\sigma }$. On peut vérifier que $j=\frac{1}{q}\sigma ^{2}+x \sigma$ et $k=\frac{1}{p}\sigma ^{2}-x \sigma$.
3. Changement de variable. On rappelle que la probabilité se représente par une surface (bâton d'un histogramme, tranche d'Archimède dans un graphe). On a évidemment $Pr\left( J=j \right) =Pr\left( X=x \right)$. La hauteur des rectangles dans l'histogramme en $j$ vaut $\frac{1}{\Delta j}Pr\left( J=j \right)$ et la hauteur des rectangles de l'histogramme en $x$ (que nous allons noter $f\left( x\right)$) vaut $\frac{1}{\Delta x}Pr\left( X=x \right)$. Comme $\Delta j=1$ et $\Delta x=\frac{1}{\sigma }\Delta j$, on part donc de
   $$f\left( x\right) =\sigma \frac{n!}{j! k!}p^{j}q^{k}$$

4. Formule de Stirling. Version faible : $\sqrt[n]{n!}\sim \frac{n}{e}$, c'est à dire le quotient de $n$ par la moyenne géométrique des $n$ premiers nombres entiers tend vers $e=2.718\cdots$. Version complète : $n!\sim \alpha n^{\left( n+1/2\right) } \exp \left( -n\right)$, le nombre $\alpha$ étant une constante (sa valeur sera établie par la suite). Mode de démonstration : développements limités.
5. Dans ce qui suit, on fixe $x$ et on fait augmenter $\sigma$ vers +$\infty$. On a donc
   $f\left( x\right) \sim \frac{1}{\alpha }n^{n+1} p^{j} \sqrt{p} q^{k} \sqrt{q} j^{-\left( j+1/2\right) } k^{-\left( k+1/2\right) }$ soit $f\left( x\right) \sim \frac{1}{\alpha }\left( \frac{n q}{k}\right) ^{k+1/2}\left( \frac{n p}{j}\right) ^{j+1/2}$.
6. Développement limité. En posant $A_{j}=\left( j+\frac{1}{2}\right) \ln \left( \frac{j}{n p}\right)$ et $B_{k}=\left( k+\frac{1}{2}\right) \ln \left( \frac{k}{n q}\right)$, on obtient $\ln \left( \alpha f\left( x\right) \right) =-A_{j}-B_{k}$. En substituant $j=x \sigma +\frac{1}{q}\sigma ^{2}$ et $\frac{j}{n p}=\frac{j q}{n p q}=\frac{\sigma ^{2}+x q \sigma }{\sigma ^{2}}=1+\frac{x q}{\sigma }$, les techniques usuelles de développement limité donnent :
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} A_{j} & = & -\sigma x-\frac{1}{2} ... ...{1}{\sigma }+\mathrm{O}\left( \frac{1}{\sigma ^{2}}\right) \end{array}\right.$$

7. On a donc $f\left( x\right) =\frac{1}{\alpha }\exp \left( -\frac{x^{2}}{2}\right) \exp \l... ...right) \frac{1}{\sigma }+\mathrm{O}\left( \frac{1}{\sigma ^{2}}\right) \right)$, ce qui montre à la fois la convergence $f\left( x\right) \rightarrow \frac{1}{\alpha }\exp \left( -\frac{x^{2}}{2}\right)$ et le fait que celle-ci est plus lente lorsque $p$ ou $q$ est proche de $0$.
8. La constante $\alpha$ est déterminée par le fait que $\int _{\mathbb{R}}f\left( x\right) \mathrm{d}x=1$. Posant $$G=\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left( -\frac{1}{2}x^{2}\right) \mathrm{d}x$$, on a $$G^{2}=\int _{\mathbb{R}}\exp \left( -\frac{1}{2}x^{2}\right) ... ...}x\times \int _{\mathbb{R}}\exp \left( -\frac{1}{2}y^{2}\right) \mathrm{d}y$$ $$=\int \int _{plan}\exp \left( -\frac{1}{2}x^{2}\right) \exp \left( -\frac{1}{2}y^{2}\right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$. Passant en polaire, on a donc $$G^{2}=\int \int _{plan}\exp \left( -\frac{1}{2}\rho ^{2}\right) ... ...theta =2 \pi \int _{0}^{\infty }\exp \left( -u\right) \mathrm{d}u=2 \pi$$.

Figure 8: Un exemple avec $p$ petit.

$\binom{20}{k} .1^{k} .9^{\left( 20-k\right) }$

Figure 9: Sans changer $p$, mais avec $n$ plus grand.

$\binom{80}{k} .1^{k} .9^{\left( 80-k\right) }$

Figure 10: Convergence plus rapide lorsque $p=0.5$.

$\binom{10}{k} .5^{k} .5^{\left( 10-k\right) }$

Table 2: Loi normale (cumulative) : table courte.

Table 3: Loi normale (cumulative) : table longue.

7.2 Propriétés élémentaires

1. Définition : loi normale réduite (loi de Gauss). Elle est caractérisée par sa densité :
   $$f\left( z\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{1}{2}z^{2}\right)$$
   Il est indispensable de repérer comment obtenir à la calculette les valeurs de $f\left( z\right)$ et de la fonction de répartition $F\left( z\right) =\int _{-\infty }^{z}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ .
   exo 52.  Déterminer $Pr\left( X<0 \right)$, $Pr\left( 2<X<3 \right)$, $Pr\left( \left\vert X\right\vert <2 \right)$, $Pr\left( X<-2\: ou\: 2<X \right)$.
   exo 53.  Déterminer $x$ tel que $Pr\left( X<x \right) =0.9625$, puis $Pr\left( -x<X<x \right) =0.9625$, puis $Pr\left( 0<X<x \right) =0.35$, et enfin $Pr\left( -2<X<x \right) =0.50$.
2. Remarque : par construction l'espérance de $z$ est nulle, et sa variance vaut $1$.
3. Définition : loi normale. La loi normale générale $Norm\left( \mu , \sigma \right)$ est définie par la densité $f\left( x\right) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left( -\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu }{\sigma }\right) ^{2}\right)$.
   On a donc $\int _{-\infty }^{+\infty }f\left( t\right) \mathrm{d}t=1$, $\mathrm{E}\left( X \right) =\int _{-\infty }^{+\infty }t f\left( t\right) \mathrm{d}t=\mu$ et $\mathrm{var}\left( X \right) =\sigma ^{2}$.
4. La loi normale réduite est donc $Norm\left( 0, 1\right)$.
   exo 54.  Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi $Norm\left( 41, 8\right)$, quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 53 ans ; (b) au moins 35 ans ; (b) entre 25 et 49 ans ?
   exo 55.  On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left( X<8 \right) =0.35$ et $Pr\left( 15<X \right) =0.16$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.
   exo 56.  Les âges d'un groupe d'étudiants sont répartis suivant la loi $Norm\left( 22, 2\right)$. Quel est l'âge moyen du tiers le plus jeune ?
5. En pratique, on approxime $Bin\left( n, p\right)$ par $Norm\left( n p, \sqrt{n p q}\right)$ lorsque $n p q>9$.
6. Si $X$ est une variable normale, $Y=a X+b$ est aussi une variable normale. On a donc $a X+b=Norm\left( a \mu +b, \left\vert a\right\vert \sigma \right)$.
7. Une somme de variables normales indépendantes est encore une variable normale. On a donc $X_{1}+X_{2}=Norm\left( \mu _{1}+\mu _{2}, \sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}\right)$.
   exo 57.  Le fameux exercice des plaques de chocolat. Une presse façonne des plaques de chocolat dont le poids $X$ suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma =3$ (grammes). Le réglage de la presse permet de modifier $m$ par pas de $0.1$ grammes sans affecter $\sigma$.
   Les services du contrôle économique admettent que $2.5\%$ du nombre des articles de cette nature puissent peser moins que le poids net mentionné sur l'emballage.
   (a) Déterminer $m$ pour respecter la tolérance administrative lorsque le poids net marqué est $250$ grammes.
   (b) On met en fabrication $100 000$ plaques de chocolat qui seront vendues par lots de 2 plaques avec pour mention "poids net $500$ grammes". Déterminer $m$ ainsi que l'économie réalisée.
8. Règle des sigmas :
   $68\%$ ( $\approx 2/3$) de l'effectif dans $\left[ \mathrm{E}\left( X \right) -\sigma , \mathrm{E}\left( X \right) +\sigma \right]$,
   $95\%$ de l'effectif dans $\left[ \mathrm{E}\left( X \right) -2\sigma , \mathrm{E}\left( X \right) +2\sigma \right]$,
   $99\%$ de l'effectif dans $\left[ \mathrm{E}\left( X \right) -2.5\sigma , \mathrm{E}\left( X \right) +2.5\sigma \right]$ et
   $99.7\%$ de l'effectif dans $\left[ \mathrm{E}\left( X \right) -3\sigma , \mathrm{E}\left( X \right) +3\sigma \right]$.

7.3 Théorème central limite

1. Si $X_{1}, \cdots , X_{n}$ sont des variables indépendantes, de moyennes $\mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et de variances $\mathrm{var}\left( X \right) _{j}$, on sait que leur somme $Y_{n}$ a pour moyenne $\mu _{n}\doteq \sum \mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et pour variance $\sigma _{n}^{2}\doteq \sum \mathrm{var}\left( X \right) _{j}$. Si de plus $\sigma _{n}^{2}\rightarrow \infty$ lorsque $n\rightarrow \infty$ alors la variable réduite $Z_{n}=\frac{Y_{n}-\mu _{n}}{\sigma _{n}}$ tend vers la loi normale réduite $Norm\left( 1, 0\right)$.
2. En particulier la loi de la moyenne $Y$ de $n$ variables indépendantes $X_{j}$ de même loi (avec $\mu \doteq \mathrm{E}\left( X \right) _{j}$ et $\sigma ^{2}\doteq \mathrm{var}\left( X \right) _{j}$) est approximativement $Norm\left( \mu , \sigma \frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.
3. Le théorème central limite redonne la convergence vers la loi normale de la variable réduite d'une loi binomiale.
4. Moyenne d'échantillon. Soit $X$ une variable aléatoire et $n>0$ un entier fixé. On appelle échantillon un ensemble de $n$ instanciations indépendantes de la variable $X$. La moyenne $\mu$ de cet échantillon est une nouvelle variable aléatoire, d'espérance $\mathrm{E}\left( X \right)$ et de variance $\frac{1}{n}\mathrm{var}\left( X \right)$. Le TCL montre que la loi de $Z=\frac{\mu -\mathrm{E}\left( X \right) }{\sqrt{\mathrm{var}\left( X \right) /n}}$ converge vers la loi normale (sans avoir à supposer que la loi de $X$ est proche de la loi normale). Comme $Pr\left( \left\vert Z\right\vert \leq 2 \right) \approx 0.95$, on voit que $\mu$ a $95\%$ de chances de se trouver dans un intervalle de rayon $2\sqrt{\frac{\mathrm{var}\left( X \right) }{n}}$ autour de $\mathrm{E}\left( X \right)$.