8 Approximations

8.1 Loi du Chi2

1. On appelle $\chi ^{2}_{1}$ (Chi2 à un ddl) la loi de $Y=X^{2}$ lorsque $X$ est une variable normale réduite. On a donc $f\left( x\right) \mathrm{d}x=g\left( y\right) \mathrm{d}y$ soit $g\left( y\right) \propto \frac{1}{\sqrt{y}}\exp \left( -\frac{y}{2}\right)$.
2. Par définition $\mathrm{E}\left( Y \right) =\mathrm{var}\left( X \right) =1$. Un peu de calcul conduit à $\mathrm{var}\left( Y \right) =\mathrm{E}\left( X^{4} \right) -\left( \mathrm{E}\left( X^{2} \right) \right) ^{2}=2$.
3. On appelle $\chi ^{2}_{\nu }$ (Chi2 à $\nu$ degrés de liberté) la loi de $Y=\sum X_{j}^{2}$ lorsque les $\nu$ variables $X_{j}$ sont des variables normales réduites indépendantes. On a donc $\mathrm{E}\left( Y \right) =\nu$ et $\mathrm{var}\left( Y \right) =2\nu$.
4. De même si $Y_{1}$ est $\chi ^{2}_{n}$, $Y_{2}$ est $\chi ^{2}_{m}$ et de plus $Y_{1}, Y_{2}$ indépendantes, alors $Y_{1}+Y_{2}$ est $\chi ^{2}_{n+m}$.

8.2 Distribution d'échantillonage

1. On part d'une distribution de probabilité sur un ensemble $\Omega$ et on veut en inférer une distribution sur l'ensemble $\widehat{\Omega }_{n}$ de tous les tirages avec remise de taille $n$.
2. Les échantillons de taille $1$.
3. Échantillonnage de la moyenne : on a $\mathrm{E}\left( \overline{X} \right) =\mathrm{E}\left( X \right)$ et $\mathrm{var}\left( \overline{X} \right) =\frac{1}{n}\mathrm{var}\left( X \right)$.
4. Soit $s^{2}_{n}$ la variance des éléments d'un échantillon de taille $n$. C'est une nouvelle variable aléatoire. Son espérance est $\frac{n-1}{n}\mathrm{var}\left( X \right)$. L'usage est donc de prendre $\frac{n}{n-1}s_{n}^{2}$ comme estimateur de $\mathrm{var}\left( X \right)$.

8.3 Tests

1. Pour des variables normales $\sum _{1}^{n}\left( \frac{X_{i}-\overline{X}}{\sigma }\right) ^{2}\approx \chi _{n-1}^{2}$.
2. Dans le cas général, on utilise $\sum _{1}^{n}\left( \frac{N_{i}-N p_{i}}{N p_{i}}\right) ^{2}\approx \chi _{n-1}^{2}$ (on perd un degré de liberté à cause de $\sum N_{i}=N$).