Ensait - E1 - Stats/Probas

Corrigé du 1er DS - durée 1 h

1 Loi binomiale (durée conseillée : 20 mn)

On considère $n=8$ variables de Bernoulli indépendantes $X_{1},\, X_{2},\, \cdots ,X_{7},\, X_{8}$ chacune d'elles ayant une probabilité de succès $p\doteq Pr\left( X_{j}=1 \right) =0,2$ . On sait que la variable $X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{7}+X_{8}$ suit une loi binomiale.

Donner la formule de $Pr\left( X=k \right)$ .
On a $Pr\left( X=k \right) ={8 \choose k}\left( 0.2\right) ^{k}\left( 0.8\right) ^{8-k}$
Donner les valeurs à trois décimales de $Pr\left( X=k \right)$ pour $k=0,\, 1,\, \cdots ,\, 8$ . On donnera les détails des calculs pour $Pr\left( X=4 \right)$ et on négligera les valeurs inférieures à $10^{-3}$ .
1. Pour $X=4$ , on a $Pr\left( X=4 \right) =\frac{8.7.6.5}{1.2.3.4}\times \left( 0.2\right) ^{4}\times \left( 0.8\right) ^{4}\approx 0.046$
2. On trouve successivement $\begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ .168 & .336 & .294 & .147 & .046 & .009 & .001 & .000 & .000 \end{array}$ . Bien entendu, le total vaut $1$ (en fait on trouve $1.001$ et l'on corrige le nombre "le plus arrondi", ici $.337$ , que l'on diminue d'un millième.
Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète.
On a $\mu =\mathrm{E}\left( X \right) =\sum \, k\, Pr\left( X=k \right)$ et $\sigma ^{2}=\mathrm{E}\left( X^{2} \right) -\mu ^{2}$
Utiliser les formules de Q3 et les valeurs de Q2 pour calculer des valeurs approchées $\mathrm{E}\left( X \right)$ et $\mathrm{var}\left( X \right)$ . Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé.
1. On a donc $\mu =\left( 0\times .168+1\times .336+2\times .294+\cdots \right) =1.599$ .
2. De même $\sigma ^{2}=\left( 0^{2}\times .168+1^{2}\times .336+2^{2}\times .294+\cdots \right) -\mu ^{2}=1.274$ .
3. Ces valeurs sont à comparer avec les valeurs exactes, qui sont $\mu =n\, p=1.6$ et $\sigma ^{2}=n\, p\, q=1.28$ . La deuxième série de calculs, qui est plus longue, engendre des erreurs d'arrondi plus importantes.
La table ci-dessous donne les valeurs de $Pr\left( X=x \right)$ pour des variables de Poisson ayant pour paramètres $1.2$ , $1.4$ et $1.6$ . Quel est le lien entre cette question et les autres ? Quelle est la meilleure valeur possible pour le paramètre ?

$x=0$ $x=1$ $x=2$ $x=3$ $x=4$ $x=5$ $x\geq 6$

$Poiss\left( 1.2\right)$ $.301$ $.361$ $.217$ $.087$ $.026$ $.006$ $.001$

$Poiss\left( 1.4\right)$ $.247$ $.345$ $.242$ $.113$ $.039$ $.011$ $.003$

$Poiss\left( 1.6\right)$ $.202$ $.323$ $.258$ $.138$ $.055$ $.018$ $.005$
1. On sait que le comportement limite, pour $n\rightarrow \infty$ , d'une variable binomiale dépend du comportement de $n\, p$ . Dans les cas où $n\, p\rightarrow \lambda$ , le comprtement limite est décrit par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ . Dans le cas où $\sigma \rightarrow \infty$ , le comportement limite de la variable réduite est décrit par la loi normale.
2. Pour $n=8$ , on est de toutes les façons loin de $n\rightarrow \infty$ . Le modèle de Poisson n'est pas déraisonnable vu que $p$ est petit. En ce cas, le choix de $\lambda =n\, p=1.6$ est le plus naturel. On constate en tout cas que la ligne $\lambda =1.6$ correspond le mieux aux valeurs trouvées précédemment (la Figure1 donne, en gras, la loi exacte -binomiale- et, en grisé, le modèle de Poisson correspondant à $\lambda =1.6$ ).
Figure 1: Histogrammes (en gras: la loi exacte).

$\resizebox*{15cm}{6cm}{\includegraphics{stat_ds1_les3lois.eps}}$
En appelant la valeur de $Pr\left( X=k \right)$ trouvée à la question 2 et $\phi \left( k\right)$ la valeur de $Pr\left( X=k \right)$ correspondant à la loi de Poisson de paramètre $\lambda =1.2$ , le calcul numérique de $\varepsilon =\sqrt{\frac{1}{9}\sum _{k=0}^{8}\left( \mu \left( k\right) -\phi \left( k\right) \right) ^{2}}$ donne $\varepsilon \approx 0.056$ . Est-ce beaucoup ou pas beaucoup ? Autrement dit, à quelle quantité peut-on comparer $\varepsilon$ pour se faire une opinion ?
1. On peut comparer à l'écart-type des $9$ valeurs de $\mu \left( k\right)$ qui est de $0.1245$ . L'écart moyen entre la loi exacte et son modèle approché est donc inférieur de plus de moitié à la "variabilité naturelle" de cette loi.
2. On peut comparer à la valeur de $\varepsilon$ obtenue pour $\lambda =1.6$ , qui est $0.0178$ (on retrouve le fait que le choix de $\lambda =1.6$ est plus naturel que le choix $\lambda =1.2$ ).
Compléments de réponses à la question 6
1. On peut aussi se demander quelle est la valeur de $\lambda$ qui minimise $\varepsilon$ . On trouve $\lambda =1.68$ , conduisant à $\varepsilon _{min}=0.0156$ . Ce léger décalage par rapport à la valeur $\lambda =n\, p$ est du au fait que la loi de Poisson autorise des valeurs supérieures à $X=8$ , qui sont évidemment impossibles pour la loi binomiale.
2. On peut aussi se demander quelle est la valeur de $\varepsilon$ associée au modèle normal, c'est à dire $Pr\left( X=k \right) =F\left( z\left( k+0.5\right) \right) -F\left( z\left( k-0.5\right) \right)$ , qui donne les valeurs $.134,\, .299,\, .322,\, .167,\, .041,\, .005,\, .000,\, .000,\, .000$ . On obtient $\varepsilon _{norm}=0.0202$ , c'est à dire à peine moins bien que le modèle de Poisson optimal. Cela tient au fait que le choix de $n=8$ ... permet de faire les calculs en temps limité, mais n'est pas un bon modèle de $n\rightarrow \infty$ !
Figure: Détermination de l'optimum de $\varepsilon \left ( \lambda \right )$ .

$\resizebox*{15cm}{5cm}{\includegraphics{stat_ds1_optim.eps}}$

**Figure 1:** Histogrammes (en gras: la loi exacte).
$\resizebox*{15cm}{6cm}{\includegraphics{stat_ds1_les3lois.eps}}$

**Figure:** Détermination de l'optimum de $\varepsilon \left ( \lambda \right )$ .
$\resizebox*{15cm}{5cm}{\includegraphics{stat_ds1_optim.eps}}$

2 Corrélation (durée conseillée : 40 mn)

On considère un couple de variables aléatoires discrètes $\left( X,\, Y\right)$ dont la distribution de probabilités est donnée par le tableau ci-dessous. Ainsi $Pr\left( X=3,\, Y=3 \right) =0.05$ .

$\downarrow y\quad x\rightarrow$	1	3	4	5
$1$	$.05$	$.05$	$.05$	$.05$
$3$	$.1$	$.05$	$.05$	$.05$
$4$		$.1$	$.1$	$.1$

Déterminer $Pr\left( X=1,\, Y=4 \right)$ .
La somme des probabilités faisant $1$ , on voit que $Pr\left( X=1,\, Y=4 \right) =.25$ .
Que valent $Pr\left( X=5\mid Y=1 \right)$ et $Pr\left( X=5\mid Y=2 \right)$ ?
1. Lorsque $Y=1$ , les quatre valeurs possibles pour $X$ sont équiprobables et
  $Pr\left( X=5\mid Y=1 \right) =1/4=.25$ .
2. La valeur $Y=2$ n'étant pas atteinte, la probabilité conditionnelle n'est pas définie.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
Si les variables étaient indépendantes, les conditionnements de $X$ par les différents $Y$ seraient identiques. Comme $Y=1$ induit la loi uniforme pour $X$ et que ce n'est pas le cas pour, par exemple, $Y=3$ on en conclut qu'il y a dépendance entre les deux variables.
Donner la distribution marginale de $X$ , son espérance et sa variance.
Le tableau de calcul se présente comme suit.

$\downarrow x\quad y\rightarrow$ $1$ $3$ $4$ $\sum _{y}p$ $x\sum _{y}p$ $\sum _{y}\, y\, p$ $x\sum _{y}\, y\, p$ $x^{2}\sum _{y}\, p$

$1$ $.05$ $.10$ $.25$ $.40$ $.40$ $1.35$ $1.35$ $.40$

$3$ $.05$ $.05$ $.10$ $.20$ $.60$ $.60$ $1.80$ $1.80$

$4$ $.05$ $.05$ $.10$ $.20$ $.80$ $.60$ $2.40$ $3.20$

$5$ $.05$ $.05$ $.10$ $.20$ $.60$ $3.00$ $5.00$

$\sum _{x}p$ $.20$ $.25$ $.55$ $1.00$ $10.40$

$y\sum _{x}p$ $.20$ $.75$ $2.20$ $3.15$

$\sum _{x}\, x\, p$ $.65$ $.70$ $1.45$ $2.80$

$y\sum _{x}\, p$ $.65$ $2.10$ $5.80$ $8.55$

$y^{2}\sum _{x}\, p$ $.20$ $2.25$ $8.80$ $11.25$
1. On a $\mathrm{E}\left( X \right) =\sum _{xy}x\, p_{xy}$ . Le calcul $\sum _{x}\left( x\, \sum _{y}p_{xy}\right)$ consiste à obtenir $\mathrm{E}\left( X \right)$ comme l'espérance de la distribution marginale. C'est le plus facile. Le calcul $\sum _{y}\left( \sum _{x}\, x\, p_{xy}\right)$ permet de contrôler ce résultat... et aussi de contrôler les $\sum _{x}\, x\, p$ qui seront utilisés par la suite. On trouve $\mathrm{E}\left( X \right) =2.8$ .
2. On trouve $\mathrm{E}\left( X^{2} \right) =10.40$ et donc $\mathrm{var}\left( X \right) =10.40-\left( 2.8\right) ^{2}=2.56$ .
Donner de même la distribution marginale de $Y$ , son espérance et sa variance.
1. Pour $\mathrm{E}\left( Y \right)$ , les deux modes de calcul donnent $\mathrm{E}\left( Y \right) =3.15$ .
2. On obtient en outre $\mathrm{E}\left( Y^{2} \right) =11.25$ et donc $\mathrm{var}\left( Y \right) =11.25-\left( 3.15\right) ^{2}=1.3275$
Calculer la covariance de $X$ et $Y$ et le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables.
1. Le tableau donne deux calculs de $\mathrm{E}\left( X\, Y \right)$ , comme $\sum _{x}\left( x\, \sum _{y}\, y\, p_{xy}\right)$ et comme $\sum _{y}\left( y\, \sum _{x}\, x\, p_{xy}\right)$ . On trouve $\mathrm{E}\left( XY \right) =8.55$ . D'où $\mathrm{cov}\left( X,\, Y\right) =8.55-\left( 2.8\times 3.15\right) =-.27$ .
2. Le coefficient de corrélation est $r=\frac{\mathrm{cov}}{\sigma _{x}\, \sigma _{y}}=\left( -.27\right) \div \left( 2.56\times 1.3275\right) \approx -.146$
Déterminer la droite de tendance $X\mapsto Y_{prev}$ . Reporter tout cela sur un dessin.
1. On obtient $a=\frac{\mathrm{cov}}{\mathrm{var}\left( X \right) }\approx -.1055$ , et la droite de tendance s'écrit $y_{prev}=\mathrm{E}\left( Y \right) +a\left( x-\mathrm{E}\left( X \right) \right)$ , soit $y_{prev}=3.15-0.1055\left( x-2.8\right)$ .
2. La réécriture de ce résultat sous la forme $y=3.44-0.11x$ est discutable, car $y=0$ se situe en dehors de la distribution.
Figure 3: la_legende_de_la_figure_01

$\resizebox*{10cm}{8cm}{\includegraphics{stat_ds1_regres.eps}}$
Obtient-on une réduction de variance significative ?
Le facteur de réduction de variance est $1-r^{2}\approx 0.98$ . Autant dire que la variance n'a pas bougé, c'est à dire que $X$ n'apporte pas grand chose pour la prévision de $Y$ .

**Figure 3:** la_legende_de_la_figure_01
$\resizebox*{10cm}{8cm}{\includegraphics{stat_ds1_regres.eps}}$

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2002-05-09

	$x=0$	$x=1$	$x=2$	$x=3$	$x=4$	$x=5$	$x\geq 6$
$Poiss\left( 1.2\right)$	$.301$	$.361$	$.217$	$.087$	$.026$	$.006$	$.001$
$Poiss\left( 1.4\right)$	$.247$	$.345$	$.242$	$.113$	$.039$	$.011$	$.003$
$Poiss\left( 1.6\right)$	$.202$	$.323$	$.258$	$.138$	$.055$	$.018$	$.005$

$\downarrow x\quad y\rightarrow$	$1$	$3$	$4$	$\sum _{y}p$	$x\sum _{y}p$	$\sum _{y}\, y\, p$	$x\sum _{y}\, y\, p$	$x^{2}\sum _{y}\, p$
$1$	$.05$	$.10$	$.25$	$.40$	$.40$	$1.35$	$1.35$	$.40$
$3$	$.05$	$.05$	$.10$	$.20$	$.60$	$.60$	$1.80$	$1.80$
$4$	$.05$	$.05$	$.10$	$.20$	$.80$	$.60$	$2.40$	$3.20$
$5$	$.05$	$.05$	$.10$	$.20$		$.60$	$3.00$	$5.00$
$\sum _{x}p$	$.20$	$.25$	$.55$		$1.00$			$10.40$
$y\sum _{x}p$	$.20$	$.75$	$2.20$			$3.15$
$\sum _{x}\, x\, p$	$.65$	$.70$	$1.45$		$2.80$
$y\sum _{x}\, p$	$.65$	$2.10$	$5.80$				$8.55$
$y^{2}\sum _{x}\, p$	$.20$	$2.25$	$8.80$	$11.25$