Ensait - E1 - Stats/Probas

Date: Corrigé du 2ème DS (durée 1 h)

1 Calculs élémentaires

1. Calculez $Pr\left( 23<X \right)$ si $X$ est une v.a. $Norm\left( 20\, ;\, 2.5\right)$. Que valent $\mathrm{E}\left( X \right)$ et $\mathrm{var}\left( X \right)$ ?
   1. Par définition $\mathrm{E}\left( X \right) =20$ et $\sigma =2.5$. On a donc $\mathrm{var}\left( X \right) =\sigma ^{2}=6.25$.
   2. Passant à la variable réduite, $X=23$ équivaut à $Z=\frac{23-20}{2.5}=1.2$. On lit sur la table $Pr\left( Z<1.2 \right) =.8849$. Passant au complément, il vient $Pr\left( 23<X \right) =.1151$, soit une chance sur $9$.
2. Calculez $Pr\left( Y>2 \right)$ si $Y$ est une v.a. $Poiss\left( 3\right)$. Que valent $\mathrm{E}\left( Y \right)$ et $\mathrm{var}\left( Y \right)$ ?
   1. Par définition $\mathrm{E}\left( Y \right) =\lim n\, p=\lambda =3$. Et l'on a $\mathrm{var}\left( Y \right) =\lim n\, p\, q=\lambda =3$.
   2. Les valeurs possibles pour $Y$ sont les nombres entiers. L'événement $2<Y$ est donc le complémentaire de l'événement $Y\in \left\{ 0,\, 1,\, 2\right\}$, dont la probabilité est $\left( \frac{\lambda ^{0}}{0!}+\frac{\lambda ^{1}}{1!}+\frac{\lambda ^{2}}{2!}... ...ght) \approx \left( 1+3+\frac{9}{2}\right) \exp \left( -3\right) \approx .4232$. La probabilité du complémentaire est donc $.5768$, soit $4$ chances sur $7$.
3. On mélange une population de $N_{1}=25$ individus, ayant une moyenne $\mu _{1}=13$ et un écart-type $\sigma _{1}=3$ avec une population de $N_{2}=35$ individus, ayant une moyenne $\mu _{2}=11$ et un écart-type $\sigma _{2}=4$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
   1. Indexons par $0$ ce qui concerne la population totale. Par définition, on a $\sum _{j}x=n_{j}\, \mu _{j}$ et, par la formule de Koenig, on obtient $\sum _{j}x^{2}=n_{j}\left( \sigma _{j}^{2}+\mu _{j}^{2}\right)$. Ces formules sont valables pour $j=0,\, 1,\, 2$.
   2. Il est clair que $\sum _{0}=\sum _{1}+\sum _{2}$. On obtient donc $n_{0}=n_{1}+n_{2}=60$. Puis $\sum _{0}x=13\times 25+11\times 35$, conduisant à $\mu _{0}=71/6\approx 11.83$. Et enfin $\sum _{0}x^{2}=\left( 13^{2}+3^{2}\right) \times 25+\left( 11^{2}+4^{2}\right) \times 35=9245$, qui conduit à $\sigma _{0}^{2}=506/36$.
   3. On pouvait aussi utiliser directement les formules :
      $$\mu =\frac{n_{1}\mu _{1}+n_{2}\mu _{2}}{n_{1}+n_{2}},\quad \sigma... ...( \mu _{1}-\mu \right) ^{2}+n_{2}\left( \mu _{2}-\mu \right) ^{2}}{n_{1}+n_{2}}$$

2 Loi normale

1. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi $Norm\left( 39,\, 7\right)$, quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 51 ans ; (b) au moins 35 ans ; (c) entre 26 et 49 ans ?
   1. $X=51$ correspond à $Z=\frac{51-39}{7}\approx 1.714$. La table donne $Pr\left( Z\leq 1.714 \right) =.9568$. Soit un pourcentage de $96\%$.
   2. $X=35$ correspond à $Z=\frac{35-39}{7}\approx -0.571$. La table montre que $Pr\left( Z\leq +.571 \right)$ vaut $.7161$. Et par symétrie, $Pr\left( -.571\leq Z \right) =0.7161$, soit $72\%$.
   3. Les événements $X\leq 26$ et $26<X\leq 49$ sont incompatibles, et leur réunion est $X<49$. On a donc $Pr\left( 26<X\leq 49 \right) =Pr\left( X\leq 49 \right) -Pr\left( X\leq 26 \right)$. Passant en $Z$, on a $Z_{2}=\frac{49-39}{7}=+10/7$ et $Z_{1}=\frac{25-41}{8}=-13/7$. La table donne directement les probabilités en $Z$ et l'on a donc $Pr\left( 25<X\leq 49 \right) =.9234-.0316=.8918$.
2. On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left( X<9 \right) =0.17$ et $Pr\left( 15<X \right) =0.34$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.
   1. On détermine $a$ tel que $Pr\left( Z<a \right) =0.17$ et $b$ tel que $Pr\left( Z<b \right) =1-0.34$. On trouve $a=-.6745$ et $b=+.4125$.
   2. On a donc $9=\mu +a\, \sigma$ et $15=\mu +b\, \sigma$, ce qui se résout en $\mu \approx 12.723$ et $\sigma \approx 5.520$.
3. Les âges $X$ d'un groupe d'étudiants sont répartis suivant la loi $Norm\left( 22,\, 3\right)$.
   (a) Déterminer les nombres $a,\, b,\, c$ tels que $Pr\left( X<a \right) =0.25$, $Pr\left( a<X<b \right) =0.25$, $Pr\left( b<X<c \right) =0.25$ et $Pr\left( c<X \right) =0.25$.
   (b) Déterminer l'âge moyen $\mu _{1}$ du quart le plus jeune, i.e. les étudiants vérifiant $a<X$.
   (c) On donne l'âge moyen $\mu _{2}=21.03$ ans des étudiants du deuxième quart, c'est à dire tels que $a<X<b$. En déduire $\mu _{3}$ et $\mu _{4}$, les âges moyens des deux derniers quarts.
   (d) Quelle est la variance des quatre nombres $\mu _{1},\, \mu _{2},\, \mu _{3},\, \mu _{4}$ ? A quoi la comparer ?
   1. Les nombres $\alpha ,\, \beta ,\, \gamma$ tels que $Pr\left( Z<\alpha \right) =1/4$,   $Pr\left( \alpha <Z<\beta \right) =1/4$, $Pr\left( \beta <Z<\gamma \right) =1/4$ et $Pr\left( \gamma <Z \right) =1/4$ vérifient également $Pr\left( Z<\beta \right) =2/4$ et $Pr\left( Z<\gamma \right) =3/4$. La table donne $\alpha \approx -0.6749$ et l'on a $\beta =0$ et $\gamma =-\alpha$. Les valeurs correspondantes pour $X$ s'obtiennent par $X=22+3Z$ (et s'appellent les quartiles de la distribution). On obtient :
      $$a=19.977,\quad b=22,\quad c=24.023\qquad (ans)$$

   2. La question posée est de calculer la moyenne $\widehat{\mu }$ des $Z$ conditionnés par l'événement $Z<\alpha$. On a donc $$\widehat{\mu }=\int _{-\infty }^{\alpha }\frac{t\, f\left( t\rig... ...=\int _{-\infty }^{\alpha }t\, f\left( t\right) \, \mathrm{d}t\div \frac{1}{4}$$, $f$ étant la densité de probabilité de la loi normale. Le changement de variable $u=-\frac{1}{2}t^{2}$ conduit à
      $$\int _{-\infty }^{t=\alpha }\exp \left( -\frac{t^{2}}{2}\right) t... ...ght) \, \mathrm{d}u=-\exp \left( -\frac{1}{2}\alpha ^{2}\right) \approx -0.7965$$
      soit $\widehat{\mu }=-0.7965\div \left( 4\, \sqrt{2\pi }\right) \approx -1.2711$. La valeur correspondante pour les âges est $\mu _{1}=22-3\times 1.2711\approx 18.19$ années.
   3. On donne $\mu _{2}=21.03$. Par symétrie, on a $\mu _{3}=2\mathrm{E}\left( X \right) -\mu _{2}=22.97$ et $\mu _{4}=2\mathrm{E}\left( X \right) -\mu _{1}=25.81$.
   4. La variance de ces quatre nombres est $\frac{1}{4}\sum \mu _{j}^{2}-\mu ^{2}\approx 7.75$. Le fait que ces nombres soient également pondérés vient de ce que les quatre intervalles interquartiles ont la même probabilité d'être atteints.
   5. On obtient une variance inférieure à la variance de la population, car le calcul précédent revient à annuler la variabilité existant à l'intérieur de chaque quartile. Quelques calculs supplémentaires montre que la variance interne au premier quartile est $2.174$ et celle interne au deuxième quartile est $0.037$. La moyenne des variances est donc $\approx 1.25$. Ajoutée à la variance des moyennes, on retrouve bien la variance totale.

3 Approximations

1. La variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$, $p=0.4$. Quelle est la probabilité des événements $E_{1}\, :\, X\in \left\{ 0,\, 1\right\}$, $E_{2}\, :\, X\in \left\{ 2,\, 3\right\}$, $E_{3}\, :\, X\in \left\{ 4,\, 5\right\}$ et enfin $E_{4}\, :\, X\in \left\{ 6,\, 7,\, 8\right\}$.
   1. On a, par définition, $Pr\left( X=k \right) =\binom{n}{k}p^{k}\left( 1-p\right) ^{n-k}$. On en déduit les probabilités voulues : $.1064,\, .4877,\, .3561,\, .0498$. On vérifie que $\sum p=1$.
2. Décrire le procédé d'approximation par la loi de Gauss, et en donner les résultats.
   1. Le procédé commence par remplacer $X=k$ par $k-\frac{1}{2}<X<k+\frac{1}{2}$ (donnant l'épaisseur voulue aux barres de l'histogramme).
   2. On passe ensuite à la variable réduite $Z=\frac{X-n\, p}{\sqrt{n\, p\, q}}$. Les seuils $-0.5,\, 1.5,\, 3.5,\, 5.5,\, 8.5$ deviennent $-2.6702,\, -1.2269,\, .2165,\, 1.6599,\, 3.8249$.
   3. On conclut en calculant les différences $-Pr\left( Z<-2.6702 \right) +Pr\left( Z<-1.2269 \right)$ etc., qui donnent : $.1061,\, .4758,\, .3658,\, .0484$.
3. L'approximation obtenue est-elle convenable ? Commenter.
   1. L'approximation de Gauss est liée au passage à la limite $n\, p\, q\rightarrow \infty$... et ici $n\, p\, q=1.92$ ! On est donc bien loin du domaine de validité.
   2. Néanmoins, les ordres de grandeur soient quand même corrects (phénomène lié au fait que $p\approx 0.5$).
   3. Pour quantifier les écarts entre la loi et son approximation, il est naturel de considérer les écarts relatifs, et d'en prendre la moyenne quadratique. Notant $\beta$ la loi binomiale et $\alpha$ son approximation, la quantité à examiner est $\varepsilon ^{2}=\sum \beta \left( j\right) \left( \frac{\beta \left( j\right)... ... \left( j\right) -\alpha \left( j\right) \right) ^{2}}{\beta \left( j\right) }$. Pour le problème considéré, on trouve $\varepsilon ^{2}\approx 0.0005974$ soit $\varepsilon \approx 0.024=2.4\%$.
   4. On obtient une approximation légèrement meilleure en renormalisant les probabilités obtenues à la question précédente, pour tenir compte de ce que $X\notin \left[ 0..8\right]$ est non pas improbable, mais impossible.