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Ensait - E1 - Stats/Probas

Projet de DS pour le Lundi 27/01/2003 - durée 2 h

Tous documents autorisés, ainsi que les calculettes conformes aux règlements usuels.
Chaque résultat doit recevoir une illustration graphique

1 Calculs élémentaires (30 mn)

$X$ est une v.a. $Norm\left( 20 ; 2.5\right)$ . Que valent $\mathrm{E}{X}$ , $\mathrm{var}{X}$ et $\sigma _{X}$ ? Calculez $Pr\left( X>23 \right)$ .
$Y$ est une v.a. $Poiss\left( 3\right)$ . Que valent $\mathrm{E}{Y}$ , $\mathrm{var}{Y}$ et $\sigma _{Y}$ ? Calculez $Pr\left( Y>2 \right)$ .
On mélange une population de $N_{1}=25$ individus, ayant une moyenne $\mu _{1}=13$ et un écart-type $\sigma _{1}=3$ avec une population de $N_{2}=35$ individus, ayant une moyenne $\mu _{2}=11$ et un écart-type $\sigma _{2}=4$ . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi $Norm\left( 39, 7\right)$ , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 51 ans ; ( b) au moins 35 ans ; (c) entre 26 et 49 ans ?
On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left( X<9 \right) =0.17$ et $Pr\left( 15<X \right) =0.34$ . Déterminer $\mu$ et $\sigma$ .

2 Loi binomiale et loi de Poisson (30 mn)

On considère $n=8$ variables de Bernoulli indépendantes $X_{1}, X_{2}, \cdots ,X_{7}, X_{8}$ chacune d'elles ayant une probabilité de succès $p\doteq Pr\left( X_{j}=1 \right) =0.3$ . On sait que la variable $X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{7}+X_{8}$ suit une loi binomiale.

Donner la formule de $\mu \left( k\right) \doteq Pr\left( X=k \right)$ .
Donner les valeurs à trois décimales de $\mu \left( k\right)$ pour $k=0, 1, \cdots , 8$ . On donnera les détails des calculs pour $Pr\left( X=4 \right)$ et on négligera les valeurs inférieures à $10^{-3}$ .
Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète.
Utiliser les formules de Q3 et les valeurs de Q2 pour calculer des valeurs approchées $\mathrm{E}{X}$ et $\mathrm{var}{X}$ . Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé.
Donner les valeurs à trois décimales de $\phi \left( k\right) \doteq Pr\left( Y=k \right)$ pour une variable de Poisson $Y$ ayant pour paramètre $\lambda =2.$ Vérifier les résultats obtenus en calculant $\mathrm{E}{Y}$ de deux façons différentes.
Le calcul numérique de $\varepsilon =\sqrt{\frac{1}{9}\sum _{k=0}^{8}\left( \mu \left( k\right) -\phi \left( k\right) \right) ^{2}}$ donne $\varepsilon \approx 0.021$ . Est-ce beaucoup ou pas beaucoup ? Autrement dit, à quelle quantité peut-on comparer $\varepsilon$ pour se faire une opinion ?

3 Corrélation (40 mn)

On considère un couple de variables aléatoires discrètes $\left( X, Y\right)$ dont la distribution de probabilités est donnée par le tableau ci-dessous. Ainsi $Pr\left( X=3, Y=3 \right) =0.05$ .

$\downarrow y\quad x\rightarrow$	1	3	4	5
$1$	$.05$	$.05$	$.05$	$.05$
$3$	$.1$	$.05$	$.05$	$.05$
$4$		$.1$	$.1$	$.1$

Déterminer $Pr\left( X=1, Y=4 \right)$ .
Que valent $Pr\left( X=5\mid Y=1 \right)$ et $Pr\left( X=5\mid Y=2 \right)$ ?
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
Donner la distribution marginale de $X$ , son espérance et sa variance.
Donner de même la distribution marginale de $Y$ , son espérance et sa variance.
Calculer la covariance de $X$ et $Y$ et le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables.
Déterminer la droite de tendance $X\mapsto Y_{prev}$ . Reporter tout cela sur un dessin.
Obtient-on une réduction de variance significative ?

4 Probabilités (20 mn)

On utilise un jeu de $32$ cartes et on en sélectionne $5$ . Quelle est la probabilité d'avoir au moins une paire, c'est à dire au moins deux cartes de même valeur ?
On répète $m$ fois le tirage décrit ci-dessus. Que doit valoir $m$ pour que la probabilité d'un échec total (c'est à dire ne jamais obtenir deux cartes de même valeur) soit inférieure à $10^{-4}$ ?

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douillet@ensait.fr
2003-01-20