Ensait - E1 - Stats/Probas

Date: Corrigé du DS du Lundi 27/01/2003 (durée 2 h)

Calculs élémentaires (30 mn)

1. $X$ est une v.a. $Norm\left(18\, ;\, 2.4\right)$. Que valent $\mathrm{E}\left(X\right)$ , $\mathrm{var}\left(X\right)$ et $\sigma _{X}$ ? Calculez $Pr\left(X>20\right)$.
   1. Par définition $\mathrm{E}\left(X\right)=18$ et $\sigma =2.4$. On a donc $\mathrm{var}\left(X\right)=\sigma ^{2}=5.76$.
   2. Passant à la variable réduite, $X=20$ équivaut à $Z=\frac{20-18}{2.4}=0.833$. En utilisant la table, on trouve $Pr\left(Z<0.833\right)=.7977$. Passant au complément, il vient $Pr\left(20<X\right)=.2023$, soit une chance sur $5$.
2. $Y$ est une v.a. $Poiss\left(4\right)$. Que valent $\mathrm{E}\left(Y\right)$, $\mathrm{var}\left(Y\right)$ et $\sigma _{Y}$ ? Calculez $Pr\left(Y>2\right)$.
   1. Par définition $\mathrm{E}\left(Y\right)=\lim n\, p=\lambda =4$. Et l'on a $\mathrm{var}\left(Y\right)=\lim n\, p\, q=\lambda =4$.
   2. Les valeurs possibles pour $Y$ sont les nombres entiers. L'événement $2<Y$ est donc le complémentaire de l'événement $Y\in \left\{ 0,\, 1,\, 2\right\}$, dont la probabilité est $\left(\frac{\lambda ^{0}}{0!}+\frac{\lambda ^{1}}{1!}+\frac{\lambda ^{2}}{2!}\... ...eft(-\lambda \right)\approx \left(1+4+8\right)\exp \left(-4\right)\approx .2381$. La probabilité du complémentaire est donc $.7619$, soit $3$ chances sur $4$.
3. On mélange une population de $N_{1}=22$ individus, ayant une moyenne $\mu _{1}=14$ et un écart-type $\sigma _{1}=4$ avec une population de $N_{2}=38$ individus, ayant une moyenne $\mu _{2}=11$ et un écart-type $\sigma _{2}=5$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
   1. Indexons par 0 ce qui concerne la population totale. Par définition, on a $\sum _{j}x=n_{j}\, \mu _{j}$ et, par la formule de Koenig, on obtient $\sum _{j}x^{2}=n_{j}\left(\sigma _{j}^{2}+\mu _{j}^{2}\right)$. Ces formules sont valables pour $j=0,\, 1,\, 2$.
   2. Il est clair que $\sum _{0}=\sum _{1}+\sum _{2}$. On obtient donc $n_{0}=n_{1}+n_{2}=60$. Puis $\sum _{0}x=14\times 22+11\times 38$, conduisant à $\mu _{0}=726/60=12.1$. Et enfin $\sum _{0}x^{2}=\left(14^{2}+4^{2}\right)\times 22+\left(11^{2}+5^{2}\right)\times 38=10212$, qui conduit à $\sigma _{0}^{2}=23.79\approx \left(4.877\right)^{2}$.
   3. On pouvait aussi utiliser directement les formules :
      $$\mu =\frac{n_{1}\mu _{1}+n_{2}\mu _{2}}{n_{1}+n_{2}},\quad \sigma... ...left(\mu _{1}-\mu \right)^{2}+n_{2}\left(\mu _{2}-\mu \right)^{2}}{n_{1}+n_{2}}$$

4. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi $Norm\left(33,\, 8\right)$, quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 51 ans ; ( b) au moins 37 ans ; (c) entre 20 et 40 ans ?
   1. La variable réduite est $\left(51-33\right)/8=2.25$. On trouve directement $Pr\left(X<51\right)=Pr\left(z<2.25\right)=0.9878$.
   2. La variable réduite est $\left(37-33\right)/8=0.5$. On trouve $Pr\left(X<37\right)=Pr\left(z<0.5\right)=0.6915$, et donc $Pr\left(37<X\right)=0.3085$.
   3. On a $z_{1}=\left(20-33\right)/8=-1.625$ et $z_{2}=\left(40-33\right)/8=0.875$. Par interpolation à partir des tables, $Pr\left(z<z_{1}\right)=1-.9479$ et $Pr\left(z<z_{2}\right)=0.8092$. On a donc $Pr\left(20\leq X<40\right)=.7571$.
   4. L'expression "entre $20$ et $40$" est floue. Il est donc nécessaire que vous en donniez une interprétation avant de commencer les calculs. En effet $Pr\left(20\leq X<41\right)$ répond tout autant à la question...
5. On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left(X<8\right)=0.19$ et $Pr\left(17<X\right)=0.44$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.
   1. Par interpolation, les tables donnent : $-.878=\left(8-m\right)/s$ et $-.151=\left(17-m\right)/s$.
   2. En résolvant ce système, on trouve $m=18.869$ et $s=12.381$.

Loi binomiale et loi de Poisson (30 mn)

On considère $n=7$ variables de Bernoulli indépendantes $X_{1},\, X_{2},\, \cdots ,X_{7}$ chacune d'elles ayant une probabilité de succès $p\doteq Pr\left(X_{j}=1\right)=0.2$. On sait que la variable $X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{7}$ suit une loi binomiale.

1. Donner la formule de $\mu \left(k\right)\doteq Pr\left(X=k\right)$. On a $Pr\left(X=k\right)={7 \choose k}\left(0.2\right)^{k}\left(0.8\right)^{7-k}$
2. Donner les valeurs à trois décimales de $\mu \left(k\right)$ pour $k=0,\, 1,\, \cdots ,\, 7$. On donnera les détails des calculs pour $Pr\left(X=3\right)$ et on négligera les valeurs inférieures à $10^{-3}$.
   
   
   1. Pour $X=4$, on a $Pr\left(X=3\right)=\frac{7.6.5}{1.2.3}\times \left(0.2\right)^{3}\times \left(0.8\right)^{4}\approx .115$
   2. On trouve successivement
      $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\... ... & .367 & .275 & .115 & .029 & .004 & .001 & .000 & \end{array}$$
      On constate que les arrondis se compensent et que le total de ces nombres vaut exactement $1$.
3. Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète. On a $m^{2}=\mathrm{E}\left(X\right)=\sum \, k\, Pr\left(X=k\right)$ et $\sigma ^{2}=\mathrm{E}\left(X^{2}\right)-m^{2}$
4. Utiliser les formules de Q3 et les valeurs de Q2 pour calculer des valeurs approchées $\mathrm{E}\left(X\right)$ et $\mathrm{var}\left(X\right)$. Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé.
   1. On a donc $m=\left(0\times .210+1\times .367+2\times .275+\cdots \right)=1.398$.
   2. De même $\sigma ^{2}=\left(0^{2}\times .210+1^{2}\times .367+2^{2}\times .275+\cdots \right)-m^{2}=1.112$.
   3. Ces valeurs sont à comparer avec les valeurs exactes, qui sont $m=n\, p=1.4$ et $\sigma ^{2}=n\, p\, q=1.12$. La deuxième série de calculs, qui est plus longue, engendre des erreurs d'arrondi plus importantes.
5. Donner les valeurs à trois décimales de $\phi \left(k\right)\doteq Pr\left(Y=k\right)$ pour une variable de Poisson $Y$ ayant pour paramètre $\lambda =1.4.$ Vérifier les résultats obtenus en calculant $\mathrm{E}\left(Y\right)$ de deux façons différentes.
   1. Pour la loi de Poisson, a $Pr\left(X=k\right)=\frac{1.4^{k}}{k\, !}\exp \left(-1.4\right)$.
   2. On trouve successivement
      $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7+ & \... ... & .345 & .242 & .113 & .039 & .011 & .003 & .001 & \end{array}$$

   3. On obtient $\mathrm{E}\left(X\right)_{\phi }\approx 1.404$ et $\mathrm{var}\left(X\right)_{\phi }\approx 1.415$. Ces valeurs sont à comparer avec les valeurs théoriques $\mathrm{E}\left(X\right)_{\phi })=\mathrm{var}\left(X\right)_{\phi }=\lambda =1.4$.
6. Que donne le calcul numérique de $\varepsilon =\sqrt{\frac{1}{8}\sum _{k=0}^{7}\left(\mu \left(k\right)-\phi \left(k\right)\right)^{2}}$ ? Est-ce beaucoup ou pas beaucoup ? Autrement dit, à quelle quantité peut-on comparer $\varepsilon$ pour se faire une opinion ?
   1. On trouve $\varepsilon \approx 0.021$.
   2. Cette quantité est très petite par rapport à l'écart-type de $\mu$ qui vaut $1.05$ : la loi de Poisson constitue effectivement un modèle approché pour la loi binomiale dans les conditions utilisées.

Corrélation (40 mn)

On considère un couple de variables aléatoires discrètes $\left(X,\, Y\right)$ dont la distribution de probabilités est donnée par le tableau ci-dessous. Ainsi $Pr\left(X=3,\, Y=2\right)=0.06$.

$\downarrow y\quad x\rightarrow$	1	$2$	$3$	5
$1$	$.06$	$.06$	$.06$
$2$	$.1$	$.06$	$.06$	$.06$
$4$	$.1$	$.1$	$.1$	$.1$

1. Déterminer $Pr\left(X=5,\, Y=1\right)$
   1. La somme des probabilités valant $1$, la probabilité manquante vaut $1$ moins la somme de toutes les autres, soit $0.14$.
   2. L'ensemble des questions suivantes se traite en complétant le tableau des distributions groupées. Il vient :
      $$\begin{array}{cccccccccc} \downarrow y\quad x\rightarrow & ... ...x_{k}^{2} & .26 & .88 & 1.98 & 7.50 & 10.62 & & & & \end{array}$$
      american
2. Que valent $Pr\left(X=5\mid Y=2\right)$ et $Pr\left(X=5\mid Y=4\right)$ ?
   1. Par définition, $Pr\left(X=5\mid Y=2\right)=Pr\left(X=5\, et\, Y=2\right)\div Pr\left(Y=2\right)$. On a donc $Pr\left(X=5\mid Y=2\right)=.06/.28\approx 0.2143$.
   2. Par définition, $Pr\left(X=5\mid Y=4\right)=Pr\left(X=5\, et\, Y=4\right)\div Pr\left(Y=4\right)$. On a donc $Pr\left(X=5\mid Y=4\right)=.1/.4=0.25$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Si les deux variables étaient indépendantes, les probabilités conditionnelles de la question précédente seraient égales.
4. Donner la distribution marginale de $X$, son espérance et sa variance.
   1. On voit directement sur le tableau que les probabilités marginales de $X$ sont :
      $$\begin{array}{ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 5\\ p & .26 & .22 & .22 & .30\end{array}$$

   2. On a en outre $\mathrm{E}\left(X\right)=2.86$ et $\mathrm{var}\left(X\right)=10.62-2.86^{2}\approx 2.44$
5. Donner de même la distribution marginale de $Y$, son espérance et sa variance.
   1. On voit directement sur le tableau que les probabilités marginales de $Y$ sont :
      $$\begin{array}{ccccc} y & 1 & 2 & 4 & \\ p & .32 & .28 & .40 & \end{array}$$

   2. On a en outre $\mathrm{E}\left(Y\right)=2.48$ et $\mathrm{var}\left(Y\right)=7.84-2.48^{2}\approx 1.69$
6. Calculer la covariance de $X$ et $Y$ et le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables.
   1. On a $cov\left(X,\, Y\right)=\mathrm{E}\left(X\, Y\right)-\mathrm{E}\left(X\right)\, \mathrm{E}\left(Y\right)=6.86-2.86\times 2.48\approx -0.2328$.
   2. Et donc $r=\left(-.2328\right)/\sqrt{2.44\times 1.69}=-0.1146$ (très légère corrélation).
7. Déterminer la droite de tendance $X\mapsto Y_{prev}$. Reporter tout cela sur un dessin.
   1. La pente de la droite de tendance est $cov\left(X,\, Y\right)/\mathrm{var}\left(X\right)\approx -0.1378$.
   2. Et la droite de tendance passe par le point moyen.
8. Obtient-on une réduction de variance significative ? La variance est réduite d'environ $1\%$.

Probabilités (20 mn)

1. On utilise un jeu de $52$ cartes et on en sélectionne $5$. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une paire, c'est à dire au moins deux cartes de même valeur ?
   1. Il est bien plus efficace de commencer par calculer la probabilité de l'événement "ne pas avoir une paire", désigné ci-dessous par $\zeta$, et de prendre le complément. Plus précisément, désignons par $\zeta _{k}$ l'événement "ne pas avoir de paire une fois la k-ième carte tirée". La question posée revient à déterminer $\zeta _{5}$.
   2. De toute évidence, $Pr\left(\zeta _{1}\right)=1$. On a en outre :
      $$Pr\left(\zeta _{5}\right)=Pr\left(\zeta _{5}\, \vert\, \zeta _{4}... ... \times Pr\left(\zeta _{2}\, \vert\, \zeta _{1}\right)Pr\left(\zeta _{1}\right)$$

   3. L'événement $\left(\zeta _{2}\, \vert\, \zeta _{1}\right)$ consiste à tirer une carte n'ayant pas la valeur $X_{1}$ sachant qu'il reste $51$ cartes, dont $3$ ont la valeur $X_{1}$. On a donc $Pr\left(\zeta _{2}\, \vert\, \zeta _{1}\right)=\frac{48}{51}$. De même $Pr\left(\zeta _{3}\, \vert\, \zeta _{2}\right)=\frac{44}{50}$. Finalement,
      $$Pr\left(\zeta _{5}\right)=\frac{48}{51}\times \frac{44}{50}\times \frac{40}{49}\times \frac{36}{48}\times \frac{32}{47}\approx 0.5071$$

   4. La probabilité demandée est donc $p=1-0.5071=0.4929$
2. On répète $m$ fois le tirage décrit ci-dessus. Que doit valoir $m$ pour que la probabilité d'un échec total (c'est à dire ne jamais obtenir deux cartes de même valeur) soit inférieure à $10^{-3}$ ?
   1. La probabilité d'un échec total est $Pr\left(\zeta _{5}\right)^{m}$, fonction décroissante de $m$.
   2. La valeur seuil est déterminée par $m\, \ln Pr\left(\zeta _{5}\right)=-3\, \ln 10$, conduisant à $m>10.17$, ou encore $m\geq 11$.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins trois cartes de même valeur (brelan) en un seul tirage d'une main de $5$ cartes ?