1.2 Optimisation sans contrainte

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Subsections

Déterminer les valeurs extrémales de $f\left( x,\, y\right) =x^{3}+y^{3}-6\, x\, y$

Déterminer les valeurs extremales de $f\left( x,y\right) =x^{3}+y^{3}-3\, x-3\, a^{2}\, y$ (discussion selon le paramètre $a^{2}\in \mathbb{R}$ ).

Le gradient de $f$ vaut $f'=\left[ 3\, x^{2}-3,\, 3\, y^{2}-3\, a^{2}\right]$ . La condition $f'=0$ impose $a^{2}\geq 0$ , soit $a\in \mathbb{R}$ . L'équation $f'=0$ possède alors quatre solutions : $\left[ 1,\, a\right] ,\, \left[ 1,\, -a\right] ,\, \left[ -1,\, a\right] ,\, \left[ -1,\, -a\right]$ .
La matrice jacobienne de $f$ est $f''=\left[ \begin{array}{cc} 6\, x & 0\\ 0 & 6\, y \end{array}\right]$ . Il faut donc $x\, y>0$ pour que la forme quadratique tangente soit définie (toujours positive pour un minimum, toujours négative pour un maximum). Bilan : un minimum, un maximum et deux ``points cols''.

Figure 2: Deux extremums et deux ``points cols''.

$\resizebox*{0.4\columnwidth}{0.3\textheight}{\includegraphics{col_x3_01.eps}}$

$\resizebox*{0.4\columnwidth}{0.3\textheight}{\includegraphics{col_x3_02.eps}}$

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2001-11-21