CONTRÔLE DU STOCK
La publication suivante est une libre traduction de l’étude « Inventory Control », réalisée par M. J.E. Beasley, Professeur de Recherche Opérationnelle à l’Université de Brunel (Londres), au département des Sciences Mathématiques. Nous avons obtenu l’accord de M. Beasley pour présenter cette traduction sur Internet. Vous pourrez trouver la version originale sur le site suivant :
La fonction de base d’un stock (inventaire) est d’isoler le procédé de production des changements environnementaux comme montré ci-dessous.
Notons ici que nous nous référons, dans cette note, à l’industrie de la fabrication. Cependant les autres industries ont également des stocks (par exemple pour une banque, le stock d’argent disponible qui peut être distribué aux clients, etc).
Le point à noter concernant le diagramme ci-dessus est que la plupart des activités impliquent un coût, et c’est seulement lors de la finalisation (vente des produits finis) que nous percevons un revenu pour contrer les coûts et heureusement faire du bénéfice (bénéfice = revenu - coût). Par conséquent, si les coûts sont autant associés aux stocks, nous devons traiter les stocks de manière Efficace, Compétente et Economique.
Dès lors, la question se pose : combien de stock devrions-nous posséder ? La théorie du contrôle du stock tente d’y répondre.
Il y a deux réponses extrêmes à cette question :
Beaucoup
Peu ou très peu
Ici, nous considérons le problème de la commande de la matière première, cependant cette même théorie peut être appliquée pour les problèmes suivants :
Les coûts que nous devons considérer, et qui nous permettront de décider la quantité de stock à posséder, peuvent être divisés en deux parties :
Remarque : Les coûts de gestion sont négligés.
Coûts de stockage - liés à la durée de stockage
Coûts de commande - liés à la commande et la réception d’une commande
Notons qu’une rupture de stock se produit lorsque qu’il n’y a pas assez de stock pour fournir les clients. Habituellement les ruptures de stock ont lieu durant le temps d’application de la commande, c’est à dire le temps entre la mise en place du bon de commande et l’arrivée de celle-ci.
Etant donné le problème de rupture de stock, la commande peut être annulée et donc complètement perdue. Ou le client peut choisir de repasser une commande, c’est à dire être disposé à attendre jusqu’à ce que nous ayons un stock suffisant pour satisfaire la commande.
Nous pouvons constater que ces éléments de coût sont pertinents, cependant il est souvent difficile d’arriver à une valeur numérique appropriée (par exemple si les stocks sont entreposés dans un immeuble utilisé à des fins diverses, comment peut-on décider de la subvention nécessaire pour les coûts de chauffage, d’électricité et de sécurité ?).
Afin de voir comment adopter le bon niveau de stock, suivons cet exemple simple ci-dessous.
Modèle basique
Dans ce modèle, nous avons la situation suivante :
Supposons que :
Ensuite nous devons décider du facteur Q, quantité qu’il faut commander à chaque fois, souvent appelé la taille du lot.
Avec ces affirmations, nous pouvons présenter ci-dessous le graphique représentant le niveau de stock en fonction du temps.
En traçant une ligne horizontale à Q/2 sur le graphique précédent, il est évident que les temps qui correspondent au stock supérieur à Q/2 sont compensés par les temps qui correspondent au stock inférieur à Q/2. En d’autres termes, le diagramme précédent peut être représenté par une valeur constante de Q/2 quelque soit le temps.
Par conséquent, nous obtenons :
où Q/2 est la moyenne (constante) du contrôle du stock
où (R/Q) correspond au nombre de commande par an
Le coût total annuel est la fonction que l’on veut minimiser en choisissant la bonne valeur de Q. Notons ici qu’il y a évidemment un coût d’achat lié aux R unités achetées par an. Cependant, comme R est fixé, c’est une constante que l’on peut négliger.
Le graphique ci-dessous illustre de quelle manière les deux paramètres (coûts de stockage annuel et coût de commande annuel) évoluent en fonction de la quantité à commander (Q). Lorsque les quantités à commander augmentent, les coûts de stockage augmentent alors que les coûts de stockage diminuent. C’est pourquoi la courbe du coût total annuel a l’allure suivante (voir graphique). A un point donné de cette courbe, une valeur de Q correspond à un coût total minimum.
Nous pouvons calculer exactement la quantité à commander correspondant à un coût total annuel minimal. En effet, il faut dériver le coût total par rapport à la quantité à commander et annuler cette dérivée.
d(coût total)/dQ = cs/2-ccR/Q² = 0 pour arriver au minimum, ce qui nous donne :
Q² = 2ccR/cs
Par conséquent, la meilleure valeur de Q (la quantité à commander = la quantité stockée), appelée la Quantité de Commande Economique (QCE), est donnée par :
Q = (2Rcc/cs)0,5
Commentaires
La formule d’obtention de la Quantité de Commande Economique a été utilisée pour la première fois dès le début du XIXème siècle, au moment où débutait la production de masse et les chaînes d’assemblage.
Afin d’associer le coût total annuel avec la Quantité de Commande Economique, il faut utiliser les formules ci-dessus.
En effet nous savons que le coût total annuel est égal à cs(Q/2) + cc(R/Q) soit en remplaçant Q par (2Rcc/cs)0,5 nous pouvons obtenir la formule du coût total suivante :
cs((2Rcc/cs)0,5/2) + cc(2Rcc/cs)0,5) = (Rcccs/2)0,5 + (Rcccs/2)0,5 = (2Rcccs)0,5
Par conséquent, le coût total annuel est de (2Rcccs)0,5 ce qui signifie qu’en commandant la quantité optimale, celui-ci est proportionnel à tous les facteurs impliqués (R,cc et cs). Par exemple, si nous devions réduire cc par un facteur 4, nous réduirions le coût total par un facteur 2 (notons que la quantité de commande économique serait aussi modifiée). C’est en fait la base du « juste à temps », c’est à dire la réduction continue de cc et cs afin d’entraîner une réduction du coût total.
Pour revenir sur les coûts de gestion, qui ont été négligés précédemment, la justification qui peut être amenée est la suivante. En considérant, dans le graphique précédent, la courbe du coût total, nous pouvons affirmer que nous ne travaillons ni avec un stock très faible (théorie du « juste à temps ») ni avec un stock très important. C’est pourquoi nous pouvons affirmer que le coût de gestion est fixe pour une grande quantité de valeur de Q. Si cela est effectivement vrai les frais de gestions n’auront pas de réelle influence sur la quantité à commander. D’ailleurs, si nous voulions adopter une démarche plus quantitative, nous aurions besoin de fonctions qui nous donnent la relation entre les frais de gestion et les quantités à commander Q. Cependant, estimer cette fonction ne serait certainement pas une tâche facile.
Exemple
Un détaillant s'attend à vendre environ 250 unités d'un produit par an. L'espace de rangement pris dans ses locaux par unité de ce produit coûte 17 € par an. Si le coût associé est de 20 € par commande, les taux d'intérêt restent proche de 9 % par an et le coût total d'une unité est de 75 €.
Nous utilisons la formule de la Quantité de Commande Economique (QCE) :
QCE = (2Rcc/cs)0,5
Ici R=250, cc=20 et les frais de stockage cs sont donnés par :
cs = 17 € (coût de stockage direct par unité par an) + 75 € x 0.09 (ce terme est l'intérêt d'argent perdu si une unité reste en stock pendant un an)
i.e. cs = 23,75 € par unité par an
Donc QCE = (2Rcc/cs)0,5 = (2 x 250 x 20/23,75)0,5 = 20,5196
Mais comme nous devons commander un nombre entier d'unités, nous avons :
QCE = 21
Nous pouvons illustrer ce calcul en faisant référence au diagramme ci-dessous qui montre le coût de commande, le coût de stockage et le coût total pour cet exemple.
Avec cette Quantité de Commande Economique, nous pouvons calculer le coût annuel total à partir de l'équation :
Coût annuel total = cs(Q/2) + cc(R/Q)
Donc pour cet exemple nous avons
Coût annuel total = (23,75 x 21/2) + (20 x 250/21) = 249,38 + 238,09 = 487,47 €
Note : si nous avions utilisé la valeur exacte de Q donnée par la formule de la Quantité de Commande Economique (i.e. 20,5196), nous aurions eu les deux termes relatifs au coût annuel de tenue et au coût annuel de commande exactement égaux l'un à l'autre.
i.e. au point QCE, le coût de stockage est égal au coût de commande (ou, d'après le diagramme ci-dessus, la Quantité de Commande Economique est l'abscisse du point d'intersection des courbes de Coût de stockage et de Coût de commande).
i.e. (csQ/2) = (ccR/Q) donc Q = (2Rcc/cs)0,5
Autrement dit, il pourrait sembler naturel, d'après la forme des courbes du Coût de stockage et du Coût de commande, d'affirmer que la quantité commandée optimale coïncide toujours avec la valeur de la quantité de commande pour laquelle le Coût de stockage est égal au Coût de commande.
Cependant, ce résultat s'applique seulement à certaines situations simples. Il n'est pas vrai (en général) que la meilleure quantité commandée correspond à la quantité où les coûts de stockage et les coûts de commande sont en équilibre.
Solution
Nous pouvons aussi résoudre le problème précédent en utilisant le modèle de tableau suivant dans lequel les entrées et sorties sont indiquées.On notera ici que ce tableau peut tenir compte de facteurs plus compliqués que ceux que nous avons considérés dans le simple exemple donnés ci-dessus.
Notez ici l'apparition de 18750 € relatif au coût du matériel. Ceci est calculé à partir des 250 unités par an à un coût unitaire de 75 € chacunes. Strictement, ce terme de coût aurait dû être additionné à l'équation du coût total annuel (cs(Q/2) + cc(R/Q)) donnée ci-dessus. Nous l'avons négligé ci-dessus comme si c'était un terme constant pour cet exemple et cela n'a donc pas affecté le calcul de la valeur optimale Q. Cependant, nous devrons nous souvenir qu'il faut inclure ce terme quand nous considérons la remise de quantité.
Exemple
Supposons, pour la convenance administrative, que nous commandions 19 et non 21 unités à chaque commande - quelle sera notre pénalité de coût pour nous être écarté de la valeur de la Quantité de Commande Economique ?
Avec Q=19, regardons le coût annuel total :
= cs(Q/2) + cc(R/Q)
= (23,75 x 19/2) + (20 x 250/19) = 225,62 + 263,16 = 488,78 €
Donc la pénalité de coût pour être passé de Q=21 à Q=19 à chaque commande est de 488,78 € - 487,47 € = 1,31 €
Notez que c'est, relativement, une très faible pénalité pour nous être écarté de la valeur de la Quantité de Commande Economique. C'est habituellement le cas dans les problèmes d'inventaire i.e. la courbe du coût annuel total est très aplatie au voisinage de son minimum QCE, donc il y a seulement une faible pénalité de coût associée aux déviations de la valeur de la Quantité de Commande Economique (voir le diagramme ci-dessus).
C'est un point important. Nous devons voir essentiellement la Quantité de Commande Economique comme une estimation approximative. Cela nous donne une approximation grossière de la quantité à commander à chaque fois. Après tout, nos évaluations de coût (comme le coût d'une commande) sont probablement imprécises. De plus, il est fortement improbable que nous ayons à utiliser des articles à un taux constant (comme le suppose la formule donnant la Quantité de Commande Economique). Cependant, le modèle de la Quantité de Commande Economique montre une façon systématique et quantitave d'avoir une idée de la quantité optimale à commander à chaque fois. Si nous nous écartons trop de l'estimation approximative, alors nous aurons de forte chance de payer une forte pénalité de coût.
Le calcul de coût ci-dessus peut aussi être fait avec le modèle de tableau suivant :
Extensions
Pour illustrer des extensions au calcul de base de la Quantité de Commande Economique, nous allons considérer l'exemple suivant :
Une société utilise 10 000 composants par an à un coût unitaire de 8 centimes d'Euro. Les coûts de commande ont été estimés à 6 € par commande et le coût de stockage a été evalué à 20 % du coût du composant par an.
Notez ici que c'est le type d'article bon marché qui est un article non "juste à temps" typique.
Ici R=10 000, cc=6 et comme le coût de stockage est de 20 % par an, le coût annuel de stockage par unité est cs = coût par unité x 20 % = 0,08 € x 0,2 par unité par an = 0,016 €.
Donc QCE = (2Rcc/cs)0,5 = (2 x 10000 x 6/0,016)0,5 = 2738,613
Le modèle de tableau pour ce problème est montré ci-dessous :
Ici, nous n'avons pas de choix sans restriction de quantité commandées (comme la formule QCE) mais un choix limité comme expliqué ci-dessous.
C'est un point important - le calcul de la Quantité de Commande Economique nous donne une quantité à commander, mais souvent les gens préfèrent échelonner leurs commandes régulièrement dans le temps, par exemple une fois par mois.
Autrement dit, nous devons passer d'une base de quantité à une base de temps
Par exemple, la Quantité de Commande Economique de 2738 a un intervalle de commande de (2738/10000)=0,274 années, c'est à dire que nous commandons tous les 52 x 0,274=14,25 semaines. Préféreriez-vous commander toutes les 14,25 semaines ou tous les 4 mois ? Rappelons ici que nous avons vu précédemment que de petites déviations par rapport à la Quantité de Commande Economique n'entraînent que de petits changements de coût.
Donc si les commandes doivent être passées tous les 1,2,3,4,6 ou 12 mois, la meilleure taille de commandes à utiliser peut être déterminée comme suit.
Evidemment, quand nous commandons un lot, nous avons besoin seulement de la commande suffisante pour couvrir le nombre de composants que nous allons utiliser jusqu'à la prochaine commande de lot - si nous commandons moins, nous allons être à court de composants et si nous commandonc plus, nous encourrons inutilement le coût de frais de stockage. Donc pour chaque taille de lot possible nous connaissons automatiquement la quantité commandée (par exemple pour une commande mensuelle, la quantité de commande est le nombre de composant utilisés par mois = R/12 = 10000/12 = 833.
Comme nous connaissons la quantité commandée, nous pouvons mettre au point le coût annuel total de chacune des options différentes et choisir l'option la moins chère.
Le coût annuel total (avec une quantité commandée Q) est donné par (csQ/2) + (ccR/Q) et nous avons la table suivante :
L'option la moins chère est donc de choisir une commande tous les 3 ou 4 mois.
En fait, nous n'avons pas besoin d'avoir examiné toutes les solutions. Comme nous savions que la Quantité de Commande Economique était associée au coût annuel total minimum, nous savons que l'option du coût moindre doit être une des deux options qui ont une quantité de commandes les plus proches de 2738 (une quantité de commande au-dessus de 2738 , l'autre au-dessous de 2738) c'est à dire le lot mensuel de (Q=2500) ou de 4 (Q=3333). On peut voir cela sur la courbe de coût annuel total montrée ci-dessous. Le coût annuel total pour ces deux options pourrait alors être calculé pour trouver quelle était l'option la meilleur marché.
Par exemple, si nous commandons 6000 unités, nous paierions seulement 0,95 x 0,08 pour chacune des 6000 unités, c'est-à-dire le rabais s’appliquerait sur la commande entière.
Ici, comme mentionné ci-dessus, nous devons nous rappeler qu’il faut ajouter à l'équation de coût annuel total (cs(Q/2) + cc(R/Q)) un terme relatif à R multiplié par le coût unitaire car le coût d'une unité n'est désormais plus fixe mais variable (le coût unitaire est égal à une fonction f (Q) de la quantité commandée Q). Donc notre équation de coût annuel total est :
cs(Q/2) + cc(R/Q) +R [f (Q)]
Il est intéressant de considérer ce qui change dans cette équation quand nous changeons la quantité commandée Q. De toute évidence, R et cc restent inchangés, et évidemment Q et f(Q) changent. Et que devient cs? Il peut rester constant ou il peut changer. Vous devez revenir en derrière pour voir comment vous avez calculé cs.
L'effet de ces rabais (rupture dans la structure de coût) doit créer un coût annuel total discontinu comme indiqué ci-dessous avec la courbe de coût annuel total. La courbe de rabais combiné est composée de parties des courbes du coût annuel total pour chacun des coûts de rabais.
La quantité commandée pour laquelle on obtient le plus bas coût serait le point le plus bas sur la courbe des coûts combinés montrée sur le graphe ci-dessus. Nous pouvons précisément calculer ce point puisqu'il correspond :
Nous devons simplement mettre au point le coût annuel total pour chacun de ces types de points et choisir le meilleur marché.
D'abord pour la Quantité de Commande Economique :
Notez ici que nous incluons maintenant le coût de matériel (achat) dans le coût annuel total.
L'effet du rabais est de réduire le coût et, de ce fait, le coût de stockage unitaire par an cs - tous les autres termes dans la formule de la Quantité de Commande Economique (R et cc) restent les mêmes. Seul le premier terme de la Quantité de Commande Economique se trouve dans la gamme couverte par le taux de rabais.
Pour les points de rupture, nous avons :
De ces chiffres, nous pouvons voir que la quantité d'ordre économique associée au coût annuel total minimal est 10000 avec un coût annuel total de 798 €.
Notez aussi ici que cette situation illustre la remarque que nous avons faite auparavant. Nous avons considéré le modèle de la Quantité de Commande Economique simple, à savoir que ce n'est pas vrai (en général) que la meilleure quantité commandée correspond à la quantité où le coût de stockage et le coût de commande se compensent. Ceci est dû au fait que le coût de stockage associé à Q=10000 est cs(Q/2) = 0,0144 x (10000/2) = 72, alors que le coût d'ordre est cc(R/Q) = 6 x (10000/10000) = 6.
Ce problème peut également être résolu en utilisant le tableau suivant. Notez que dans ce tableau, on doit utiliser des "Edit Discount Breaks" pour entrer la structure de rabais.
Nous avons aussi besoin d'utiliser des "Edit Discount Characteristics". Ci-dessous nous avons spécifié que le coût de stockage est aussi rabaissé quand le coût d'un article change.
Le résultat du tableau est montré ci-dessous. Notez que l'on considère les mêmes choix (la Quantité de Commande Economique et les points de rupture) que dans notre calcul manuel ci-dessus.
Notez ici que l'utilisation d'analyse de rabais n'est pas limitée aux acheteurs, elle peut aussi être utilisée par un fournisseur pour examiner les effets probables de changements de la structure de rabais sur les commandes qu'il reçoit. Par exemple, si le fournisseur baisse la taille de commande sur lesquelles un rabais particulier est effectué, alors comment cela pourrait-il influencer les commandes qu’il reçoit - deviendront-elles plus grandes/plus petites, moins fréquentes/plus fréquentes ?
Problème de vendeur de journaux
Considérez un vendeur de journaux qui est debout dans la rue et vend un journal du soir, "L'AIT Déchaîné du Soir". Combien d’exemplaires devrait-il stocker ?
Il vend le journal à ses clients pour 40 centimes par exemplaire. Il paye à son fournisseur 25 centimes par exemplaire, mais n'importe quel exemplaire non vendu peut être rendu au fournisseur et il obtient 8 centimes en retour. C’est ce qu’on appelle une valeur de sauvetage. Supposez que sa demande d’exemplaire pour n'importe quel jour est une distribution Normale de 80 et l'écart-type 5.
Avant que nous ne puissions calculer la quantité qu'il devrait commander, nous devons mettre au point son coût de manque par unité - combien perd-il si un client veut un exemplaire et il n'a pas d’exemplaire disponible ?
D’après une première analyse, il perd son bénéfice (= revenu - coût = 32 - 20 =12) donc nous pouvons évaluer son coût de manque à 12 (cela ignore n'importe quelle perte de bienveillance et n'importe quelle perte d’habitude future qui pourrait entraîner un manque).
Donnant ces informations au tableau suivant, nous arrivons :
Ainsi, il devrait stocker 84,21 (soit 85) exemplaires du journal. Ce niveau de service de 80 % signifie que, en moyenne, il sera capable de complètement fournir ses clients 80 jours sur 100, c'est-à-dire 4 jours sur 5. Le reste du temps (1 jour sur 5), il aura des ruptures de stock, quelques clients ne pourront pas lui acheter d’exemplaire.
Des variantes plus sophistiquées de ce modèle simple peuvent être utilisées, par exemple, décider combien d’exemplaire d'un magazine on doit avoir sur un rayon chez un marchand de journaux (comme Le Furet du Nord).
Notez qu'il y a une différence conceptuelle importante entre ce problème de vendeur de journaux et les problèmes Quantité de Commande Economique/rabais considérés ci-dessus. Dans ces problèmes Quantité de Commande Economique/rabais, nous avions un problème de décision (combien commander) bien que la situation soit une de certitude - nous connaissions précisément le taux auquel nous avons utilisé des articles. Dans le problème de vendeur de journaux, si nous savions à coup sûr combien de clients voulaient un journal chaque jour, alors le problème de décision deviendrait insignifiant (commande exactement le compte). Autrement dit :