1. Le corps des complexes

1.1 Plan du cours

1. Rappels de géométrie
   1. Maillage d'une droite (Archimède et les entiers relatifs)
   2. Amélioration du maillage (Thalès et les fractions)
   3. Complétion de la droite (les réels).
   4. Repère cartésien plan (vectoriel : vecteurs, affine : points).
   5. Géométrie euclidienne (Pythagore).

2. Présentation des complexes
   1. Axe des réels, des imaginaires, description d'un quart de tour
   2. Axiomes : est un corps qui prolonge ; il existe i tel que i²=-1 ; tout complexe z s'écrit
   3. Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison. Formules pour et .
   4. La conjugaison est un isomorphisme du corps (choix du 'bon' quart de tour).

3. La transformation homographique
   1. Pour , le rapport caractérise la position du point z.
   2. Homographie : application avec .

4. Écriture multiplicative
   1. Module : définition, morphisme, ensemble (le cercle trigonométrique).
   2. Inégalité triangulaire.
   3. Morphisme de groupes défini par (Euler).
   4. Notation , formules du sinus et du cosinus, exponentielle complexe.
   5. Formule , théorème de l'angle au centre.

5. Trigonométrie
   1. Formule de Moivre :
   2. Linéarisation des polynômes en et
   3. Polynômes de Chebyschev
   4. Formules et les autres.

6. Racines n-ièmes
   1. Racines carrées d'un complexe, calcul effectif.
   2. Équation du second degré sur . Somme et produit des racines.
   3. Racines n-ièmes de l'unité, d'un complexe quelconque
   4. Théorème de d'Alembert.

1.2 Exercices

1. Image de la droite , des droites par l'homographie . On commencera par calculer et placer un certain nombre de points.
2. Image de la droite , des droites par l'homographie .
3. Module et argument de .
4. Conversion cartésien/polaire pour les complexes 1+i, , . Calculer les produits deux à deux. Vérifier les formules pour les modules et les arguments.
5. Déterminer si les points 3+5i, -7+5i, 10-2i, 11-7i sont cocycliques. En pareil cas, déterminer le cercle par son centre et son rayon.
6. Soient , , et w=1+i. Caractériser les points tels que , , .
7. Montrer que les solutions de vérifient toutes . Résoudre pour .
8. Simplifier
9. Trouver z tel que .
10. Formules donnant et pour (Chebyschev).
11. Linéariser et pour .
12. Linéariser . Donner deux calculs de la primitive nulle en x=0 de cette fonction. Les comparer.
13. Factoriser et résoudre .
14. Résoudre .
15. Racines n-ièmes de lorsque .
16. Trouver z tel que .
17. Racines sixièmes de .
18. Soit . On pose S=z+z²+z⁴ et T=z³+z⁵+z⁶. Montrer que sont conjugués et que . Calculer S+T et . Conclure.
19. Racines carrées de 1+i (sous formes algébrique et trigonométrique). Valeurs exactes de et de .
20. L'équation a-t-elle des racines réelles ? Résoudre. De même avec .
21. Résoudre 2z⁴-6z³+9z²-6z+2=0.
22. Soit un polynôme du troisième degré à coefficients complexes. Montrer que les racines de appartiennent au triangle déterminé par les racines de .
23. Calculer
24. Étudier les sommes et .
25. Utiliser les complexes pour démontrer le théorème de la médiane.
26. Soit . Calculer S=1+z+z²+z³+z⁴. En déduire et .
27. Soit x tel que . Simplifier l'expression .
28. Linéariser .
29. Résoudre , .
30. Montrer que, pour tous , on a : . Interprétation ?
31. Résoudre, en fonction des paramètres et , l'équation .
32. Résoudre .
33. Calculer et .
34. Résoudre .
35. Résoudre .