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2. Un peu de logique

2.1 Plan du cours

  1. Notions de base

    1. Conjonction, négation, ou inclusif
    2. Utilisation du calcul numérique pour décider des formules logiques
    3. Règles de Morgan
    4. Implication
    5. Équivalence logique
    6. La disjonction (ou exclusif).

  2. Ensembles (règles de calcul)

    1. Appartenance : notion admise
    2. Inclusion, égalité
    3. Règles de fabrication d'ensembles :

      cut est admis ; énumération ; sélection ; cut (couples) ; cut (parties) ; BA (applications cut).

    4. Quantificateurs (admis), règles de négation.
     

  3. Ensemble des parties

    1. Définition.
    2. Opérations sur les parties, diagrammes de Venn.
    3. Propriétés, règles de Morgan.

  4. Applications

    1. Définitions et exemples Ensemble des applications.
    2. Composition, associativité.
    3. Familles indexées.
    4. Application caractéristique d'une partie.

  5. Injection, surjection, bijection

    1. Définitions.
    2. Théorèmes.
    3. Extension aux parties, formules de calcul.

2.2 Exercices

  1. Comparer les affirmations cut, cut, cut, cut, cut, cut.
  2. Soient cut quatre ensembles. Comparer cut et cut.
  3. Que dire de cut ?
  4. Montrer que cut se distribue sur cut et réciproquement.
  5. Montrer que, pour cut génériques, cut et que cut.
  6. On pose cut. Montrer que cut pour tous les ensembles cut.
  7. On appelle cut l'opération cut. Montrer que cut, cut, cut, cut peuvent s'exprimer à l'aide du seul opérateur cut. Donner les formules correspondantes.
  8. Comparer cut et cut.
  9. Contraposée de cut. Preuve.
  10. Montrer que cut définie par cut est bijective.
  11. Écrire sous forme quantifiée : ``il existe un entier inférieur à tous les autres'', ``il existe un entier supérieur à tous les autres'', ``tout réel possède une racine carrée réelle'', ``tout réel est supérieur à son carré''. Écrire sous forme quantifiée la négation de chacune de ces affirmations.
  12. Soient cut. Déterminer cut.
  13. Résoudre dans cut l'équation cut, l'équation cut.
  14. Soit cut, tel que cut. Qu'en conclure ?
  15. Soit cut telle que cut. Montrer qu'il y a alors équivalence entre f injective et f surjective.
  16. Soient cut. On considère cut cut. A quelles conditions a-t-on une injection, une surjection, une bijection ? Dans ce dernier cas, déterminer l'application réciproque.
  17. Déterminer toutes les applications cut à la fois injectives et telles que cut.
  18. Comparer cut avec cut. Comparer cut avec cut.
  19. On définit l'opération cut par cut. Propriétés de cette opération ? Se distribue-t-elle sur cut, se distribue-t-elle sur cut ?
  20. Montrer qu'il y a équivalence entre cut et cut.
  21. Que vaut cut ?
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douillet@cnam.fr
2001-03-12