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3. Le corps des réels

3.1 Plan du cours

  1. Quelques propriétés de cut

    1. Ordre : définition, compatibilité.
    2. Majorant, maximum, borne supérieure
    3. Propriété du minimum sur cut.

  2. Axiomes de cut

    1. cut prolonge cut.
    2. Corps totalement ordonné, règles opératoires.
    3. Propriété d'Archimède.
    4. Propriété de la borne supérieure sur cut.

  3. Valeur absolue

    1. Définition, propriétés usuelles.
    2. Distance : définition, propriétés, inégalité triangulaire.
    3. Distance d'un point à un ensemble
    4. Caractérisation : pour A borné non vide, cut est le majorant à distance nulle.
    5. Distance de deux ensembles.

  4. Approximations d'un réel

    1. Valeur approchée par défaut, par excès. Partie entière d'un réel.
    2. Meilleures approximations par défaut à 1/d près.
    3. Un réel est la borne sup de ses meilleures approximations par défaut.
    4. On peut aussi utiliser les puissances de 10 comme dénominateur...

  5. Calculs avec les valeurs approchées

    1. Somme de deux ensembles.
    2. Sup de la somme de deux ensembles.
    3. Conditions de validité pour le produit.
    4. Si cut pour tous cut, cut et si A, B non vides alors cut.
    5. Si de plus distance nulle (adjacents) alors cut.

  6. Racine carrée d'un réel positif

    1. Existence (démonstration par coupure).
    2. Approximation par dichotomie.
    3. Méthode de Newton

  7. Intervalles

    1. Segments
    2. Intervalles : définition, caractérisation
    3. Intervalles non bornés, droite numérique achevée
    4. Densité des rationnels et des irrationnels

3.2 Exercices

  1. Montrer que la relation cut ``a divise b'', c'est à dire cut, est une relation d'ordre dans l'ensemble des entiers strictement positifs. Qu'est ce que cut et cut pour cet ordre ?
  2. Montrer que cut.
  3. Déterminer cut, cut et cut lorsque cut sont deux parties majorées de cut.
  4. On suppose que cut . Montrer que l'on a alors cut.
  5. Que dire des des bornes supérieure et inférieure des ensembles cut, cut, cut et cut.
  6. Même question pour les ensembles cut, cut.
  7. Soit x=0.318181818... l'écriture décimale d'un nombre (les 18 se répètent à l'infini). Montrer qu'il s'agit d'un rationnel. Donner son écriture fractionnelle irréductible.
  8. Montrer que cut. En déduire la partie entière de cut.
  9. Soient cut et cut. Montrer l'existence d'un et un seul cut tel que cut. Montrer que cut.
  10. Que vaut cut ?
  11. Déterminer les réels tels que cut.
  12. Déterminer un critère pour que la réunion de deux intervalles soit encore un intervalle.
  13. Soit A un ensemble borné de réels strictement positifs. Montrer que l'ensemble des inverses des éléments de A est encore borné. Déterminer ses bornes.
  14. Soient cut tels que cut. Montrer qu'alors cut est irrationnel.
  15. Soient cut et cut. Condition nécessaire et suffisante pour que cut ?
  16. On suppose cut avec B majorée. Que peut on en conclure pour A ?
  17. On suppose cut majoré. Que dire de cut.
  18. Soit cut, croissante. On pose cut. Montrer que E possède une borne supérieure b. Montrer que cut.
  19. On pose cut. Montrer que cut.
  20. Montrer que, pour tout cut et tout cut, on a cut et cut.
  21. Soit cut un ensemble borné non vide. A-t-on cut ?
  22. Donner une bijection entre deux intervalles ouverts non vides.
  23. Montrer que, pour tout x>0, cut. En déduire la limite pour cut de cut.
  24. Comparer, pour cut les expressions cut et cut.
  25. Quelles sont les fonctions cut qui sont à la fois croissantes et telles que cut pour tous cut ?
  26. Que dire de la partie fractionnaire du nombre cut lorsque cut ?
  27. Résoudre cut.
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douillet@cnam.fr
2001-03-12