4. Suites réelles

4.1 Plan du cours

1. Présentation
   1. Définition d'une suite. Somme et produit de deux suites
   2. Définition une limite. Qu'est ce que démontrer L est une limite de x.
   3. Unicité de la limite
   4. Restrictions, suites extraites
   5. Les extraites d'une convergente convergent. Recollements

2. Théorèmes
   1. Ordre et passage à la limite
   2. Convergente implique bornée
   3. Somme de deux suites convergentes
   4. Produit d'une convergente vers 0 par une bornée
   5. Produit de deux suites convergentes
   6. Suites adjacentes.

3. Limites infinies
   1. Definitions (+infini, -infini, infini en valeur absolue)
   2. Suite des inverses d'une suite tendant vers l'infini
   3. Opérations dans
   4. Mauvais cas pour la somme et le produit de suites convergeant dans
   5. La borne sup de E est le seul majorant qui soit limite d'une E-suite

4. Suites récurrentes
   1. Definition (fonction itérable, ensembles stables).
   2. Règle : les points fixes sont intéressants.

5. Suites récurrentes affines
   1. Récurrence lineaire d'ordre 1 (= suite géométrique)
   2. Récurrence linéaire d'ordre 2.
   3. Méthode générale pour les suites affines d'ordre 2.

4.2 Exercices

1. La suite diverge. La suite converge.
2. Calculer la limite de . Utiliser cette suite (et une autre suite bien choisie) pour encadrer la limite de
3. Montrer la convergence de la récurrence arithmético-géométrique , . Étudier la vitesse de convergence du processus.
4. Étudier la suite
5. Soit une suite de réels positifs tels que . Montrer que cette suite converge. Donner sa limite (on commencera par montrer que pour tout ).
6. On part d'un et on applique la récurrence . Montrer que la suite ainsi obtenue converge. Donner sa limite.
7. On pose . Montrer que les suites s_2n et s_2n+1 sont adjacentes.
8. On part de u₀>0 et de v₀>0. Étudier les suites obtenues par la récurrence , (on suppose ).
9. Résoudre les systèmes :
   
   
   
10. Résoudre les récurrences :