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5. Suites réelles ou complexes

5.1 Plan du cours

  1. Suites récurrentes réelles : méthodes pour le cas général

    1. Tracer le graphe de la fonction.
    2. Chercher les points fixes, résoudre cut.
    3. Chercher les SEGMENTS STABLES contenant un seul point fixe.
    4. Sur un tel segment : f croissante implique escalier (suite monotone convergente).
    5. Si f décroissante, étudier cut (escargot : convergence si paire et impaire adjacentes).
    6. Signification de la dérivée en un point fixe (d'une itérable dérivable).

  2. Équivalences

    1. Définition générale d'une équivalence
    2. Classes d'équivalences
    3. Exemple : proportionalité et fractions.

  3. Suites équivalentes

    1. Définitions : équivalence, négligeabilité.
    2. Suites de référence
    3. Les lemmes de Césaro

  4. Suites à valeurs complexes

    1. Convergence d'une suite à valeurs complexes.
    2. Équivalence avec la convergence des suites cut et cut.
    3. Bolzano Weierstrass : de toute suite (réelle ou complexe) bornée, on peut extraire une suite convergente (dans cut ou cut). Extension à cut et cut.
    4. A nouveau sur les récurrences homographiques

5.2 Exercices

  1. Résoudre les systèmes :
    cutcutcut
    cut
  2. De toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone.
  3. Récurrence homographique cut.
  4. Résoudre les récurrences :
    cutcut cutcut
  5. Récurrences homographiques :
    cut, cut, cut
    cut, cut, cut
    cut, cut cut
  6. Limite de cut, de cut.
  7. On part d'un cut et on applique la récurrence cut. Que se passe-t-il ? Étudier ensuite le cas u0>1.
  8. Étudier les suites définies par la récurrence cut.
  9. Étudier les suites définies par la récurrence cut.
  10. Étudier les suites définies par la récurrence cut.
  11. Que dire de la suite cut ?
  12. Montrer que cut.
  13. On étudie les suites définies par la récurrence cut. Déterminer le point fixe répulsif cut, le le point fixe attractif cut, le multiplicateur M et donner l'expression de xn en fonction de x0 et de n. Déterminer un équivalent de cut lorsque cut.
  14. Soit f la fonction définie par cut. On s'intéresse aux suites cut définies par un terme initial x0 et par la récurrence cut.

    1. Quels sont les cut conduisant à une limite finie cut ? Donner alors un cut de cut.
    2. Dans le cas où cut, trouver un équivalent de xn+1-xn. En déduire un équivalent de xn.
  15. Mêmes questions pour cut.
  16. Même question (a) pour cut. Que peut-on dire dans le cas où cut ?
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douillet@cnam.fr
2001-03-12