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6. Fonctions numériques, continuité

6.1 Plan du cours

  1. Définitions

    1. propriétés globales : croissante, strictement croissante, majorée, paire, périodique, Lipschitz
    2. propriétés locales : voisinages d'un point a, voisinage de l'infini
    3. opérations sur les fonctions

  2. Limites

    1. limite en un point
    2. limite à gauche, limite infinie
    3. limite d'une fonction monotone

  3. Opérations sur les limites

    1. limites finies : sommes, lemme du produit, produit, ordre, composition
    2. limites infinies
    3. composition

  4. Continuité

    1. continuité, continuité unilatérale, fonction prolongeable par continuité.
    2. Une fonction continue en un point est bornée sur un voisinage de ce point.
    3. Opération sur les fonctions continues.
    4. La propriété de Lipschitz implique la continuité.
    5. Caractérisation séquentielle de la continuité

  5. Continuité sur un segment

    1. Propriété des valeurs intermédiaires
    2. Image d'un intervalle (=connexe)
    3. Image d'un compact, et donc image d'un segment.
    4. Continuité uniforme et théorème de Heine.

  6. Bijection bicontinue bimonotone entre intervalles

    1. théorème
    2. exemples : racine carrée, fonctions circulaires, exponentielle réelle.

6.2 Exercices

6.2.1 Révision

  1. On sait que les suites obtenues à partir d'un cut et de la récurrence cut convergent vers 0. Rechercher un équivalent simple de un.
  2. On considère les suites définies par cut et par la récurrence xn+1=xn-xn3. Utiliser les lemmes de Césaro pour déterminer la façon dont elles convergent vers 0.
  3. Donner un équivalent de cut, de cut de cut, de cut. De cut pour cut fixé.
  4. Étude des suites récurrentes définies par cut, cut avec cut .
  5. Étude des suites récurrentes définies par u0>0 et cut.
  6. Que peut-on dire des suites récurrentes complexes définies par cut et la relation cut. Même question avec cut.
  7. Montrer que les suites cut et cut sont adjacentes.
  8. Soient cut. Comparer cut et cut.

6.2.2 Fonctions numériques continues

  1. Étudier la continuité en x=0 de f définie par cut et sinon cut.
  2. Peut on prolonger par continuité cut pour x=0 ?
  3. Étudier la limite en cut de cut.
  4. Existence , valeur éventuelle de cut, de cut, de cut (x>0), de cut, de cut.
  5. Existence , valeur éventuelle de cut, de cut, de cut.
  6. Existence , valeur éventuelle de cut, de cut.
  7. Soit cut, continue et telle que les limites cut et cut existent et sont égales. Peut-on avoir f injective ?
  8. Une fonction continue cut possède au moins un point fixe.
  9. Déterminer toutes les applications cut, continues et telles que cut.
  10. Soit cut, décroissante et telle que cut soit croissante. Montrer que f est continue.
  11. Que dire de la fonction cut (continuité, monotonie, facteur de Lipschitz) ?
  12. Soit une fonction continue cut et cut strictement positifs. Montrer qu'il existe cut tel que cut.
  13. On suppose cut continue et telle que cut. Montrer que f admet un minimum.
  14. Soient cut deux fonctions continues sur un intervalle I et telles que cut. Montrer que l'on a f=g ou bien f=-g.
  15. Simplifier cut, cut, cut, cut.
  16. Image de cut par cut.
  17. Image de cut par cut.
  18. Image de cut par cut.
  19. Image de cut par cut.
  20. Image de cut par cut.
  21. Image de cut par cut.
  22. Image de cut par cut.
  23. Image de cut par cut.
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douillet@cnam.fr
2001-03-12