7. Nombre dérivé, fonction dérivée

7.1 Plan du cours

1. Définitions
   1. Nombre dérivé en un point (et aussi : dérivée à gauche, dérivée à droite).
   2. Dérivable implique continue.
   3. Notation de Newton et de Leibniz. Application linéaire tangente.
   4. Prolongement du TVM d'une fonction globalement continue, dérivable en un point.
   5. Fonction dérivée d'une fonction définie sur un intervalle.

2. Formules de calcul
   1. Équivalence entre dérivabilité et développement limité d'ordre 1.
   2. Dérivée d'une somme , d'un produit.
   3. Dérivée logarithmique , dérivée d'un quotient.
   4. Fonction composée : règle de la chaîne . Fonction réciproque.

3. Fonctions usuelles
   1. logarithme, puis exponentielle réelle.
   2. sinus et cosinus, puis exponentielle imaginaire.
   3. A propos de l'exponentielle complexe.
   4. La fonction et les autres fonctions circulaires réciproques.
   5. Fonctions hyperboliques.

7.2 Exercices

7.2.1 Continuité (compléments)

1. Déterminer toutes les applications , continues et telles que .
2. Simplifier , , , .
3. On définit par lorsque , et par lorsque l'écriture irréductible de x est . Montrer que cette fonction est continue au point a selon que ou non.
4. Quelles sont les isométries de , c'est à dire les f telles que ?
5. Une fonction numérique injective continue est strictement monotone sur tout intervalle où elle est définie.
6. Montrer que toute fonction de Lipschitz est uniformément continue. Montrer que est uniformément continue sur , mais n'y admet pas de facteur de Lipschitz.

7.2.2 Dérivation

1. Si f est dérivable en x₀, alors existe et vaut . Réciproque ?
2. Montrer que la fonction définie par et sinon est dérivable en x=0. Vérifier que la fonction dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires. Est elle continue en 0 ?
3. Calculer , , .
4. La fonction est elle dérivable en x=0 ?
5. Déterminer .
6. Soit f continue sur , dérivable sur et telle que lorsque x tend vers b par valeurs inférieures. En déduire que existe et vaut .
7. Montrer que se prolonge en une fonction dérivable au point x=1.
8. En est-il de même pour (au point x=0) ?

7.2.3 Fonctions circulaires et hyperboliques

1. Que vaut ?
2. Vérifier que .
3. Vérifier que et que .
4. Quelle relation existe-t-il entre les trois nombres lorsque ?
5. Calculer . Calculer . Calculer . Calculer .
6. Calculer .
7. Constater que 5 est solution de et finir de résoudre.
8. Résoudre .
9. Quelle est la limite de ?
10. Reprendre les exercices précédents en passant en hyperbolique.

7.2.4 Dérivation des fonctions circulaires et hyperboliques

1. Dériver les fonctions de x suivantes : , , , , .
2. On suppose 0<b<a. Calculer les dérivées de , de et de . Comparer ces dérivées. Conclure.
3. Calculer la dérivée de . Conclure.
4. Mêmes questions avec .
5. Mêmes questions avec .
6. Mêmes questions avec .
7. Mêmes questions avec .