8. Fonctions dérivables

8.1 Plan du cours

1. Fonctions dérivables sur un intervalle
   1. Lemme de Rolle : si etc
   2. Théorème de Rolle (=théorème accroissements finis) : tangente parallèle à une sécante donnée
   3. Règle de l'Hôpital
   4. Pour les fonctions , inégalité des accroissements finis ...

2. Applications
   1. Si f est de classe C¹ sur le segment , alors est un facteur de Lipschitz pour f.
   2. Théorème de point fixe dans un compact stable où est majoré par un nombre k<1.
   3. Sens de variation d'une fonction dérivable.
   4. Prolongement de la dérivée d'une fonction de Rolle
   5. Une fonction dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires

3. Dérivées itérées
   1. Définition. Fonctions de classe Cⁿ.
   2. Interprétation de la dérivée seconde
   3. Formule de Leibniz du produit
   4. Taylor-Lagrange pour une fonction dont la dérivée n-ième est de Rolle

8.2 Exercices élémentaires

1. Déterminer la ou les abscisses de Rolle correspondant aux intervalles et aux fonctions suivants :

   et et

   et et

   et et

   et et

2. Calculer la dérivée des expressions suivantes :

   , ,

3. Vérifier la formule de Leibniz en calculant de deux façons les dérivées n-ièmes suivantes :

   , ,

8.3 Exercices

1. Trier les exercices qui suivent en fonction du point de cours mis en oeuvre.
2. Calculer par diverses méthodes .
3. Même question pour .
4. Calculer les limites , , , .
5. Déterminer a pour que ne soit ni nulle ni infinie. Quelle est alors la limite ?
6. Déterminer .
7. La dérivée d'un polynôme scindé sur est à son tour scindée.
8. On considère la fonction . Applicabilité de Rolle à cette fonction sur ?
9. Déterminer l'abscisse c du théorème de Rolle pour la fonction .
10. Dérivée d'ordre n de .
11. On suppose f ``suffisamment'' dérivable. Approximer au mieux à partir des valeurs de , , . De même à partir des cinq valeurs , , , , .
12. Mêmes questions pour la dérivée seconde.
13. Peut-on déterminer une constante telle que pour tout segment où f est C² sur et D³ sur , il existe un vérifiant .
14. Utiliser pour former une équation différentielle du second ordre vérifiée par le polynôme de Chebyschev .
15. On suppose continues avec et . Montrer que pour tout il existe tel que .
16. Soit , continue, avec . Montrer que f admet un minimum.
17. Énoncer le T.A.F. pour sur . Vérifier.
18. De même pour sur le même intervalle.
19. Soit de classe C¹ avec et pour un a>0. Montrer qu'il existe un point du graphe où la tangente passe par l'origine.
20. Soit deux fois dérivable. On suppose et . Montrer que l'on a alors .
21. On reprend l'exercice précédent en ne supposant plus . Montrer que l'on a alors .
22. Soit de classe C¹, telle que et . Montrer qu'il existe une constante M telle que .
23. Montrer que
24. Montrer que . En déduire et .
25. Si f' est de Rolle sur alors .
26. Si f'' est de Rolle sur alors .
27. Étude de la fonction .
28. Si alors .
29. Montrer que est une fonction indéfiniment dérivable et que s'écrit , avec P_n polynôme de degré n.
30. Montrer que est une fonction indéfiniment dérivable et que , avec P_n polynôme de degré n.
31. Existence et valeur de la limite en un point a où la fonction est suffisamment dérivable.
32. Déterminer effectivement l'abscisse du théorème de Rolle pour (discussion).
33. On suppose l'existence de et de . Montrer que l'on a alors . On pourra commencer par montrer que, pour tout et tout h>0, on a : . Ce résultat subsiste-t-il pour un autre intervalle que ?
34. Sur des intervalles à déterminer, , .